Đề thi chọn học sinh giỏi lớp 9 THCS Lâm Thao năm học 2013 – 2014 môn: Toán

 PHềNG GD&ĐT LÂM THAO
ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI
 LỚP 9 THCS NĂM HỌC 2013 – 2014
Mụn: Toỏn
ĐỀ CHÍNH THỨC
Thời gian thi: 150 phỳt (Khụng kể thời gian giao đề)
Đề thi cú 01 trang
ĐỀ BÀI
Cõu 1 (4 điểm): Cho biểu thức 
	Với ;
	a) Rỳt gọn biểu thức A.
	b) Tỡm giỏ trị của A khi .
	c) Với giỏ trị nào của x thỡ đạt giỏ trị nhỏ nhất ? Tỡm giỏ trị nhỏ nhất đú?
Cõu 2(3 điểm):
a) Chứng minh : Với mọi số tự nhiờn n thỡ an = n(n + 1)(n + 2)(n + 3) + 1 là số chớnh phương. 
b) Giải phương trỡnh: 
Cõu 3 (4 điểm): 
	a) Tỡm nghiệm nguyờn của phương trỡnh: 2x2 + 4x = 19 – 3y2.
	b) Tìm các chữ số a, b sao cho chia hết cho 45
Cõu 4: (7 điểm) 
1. Cho nửa đường trũn tõm O đường kớnh BC=2R. Điểm A di động trện nửa đường trũn. Gọi H là hỡnh chiếu của điểm A lờn BC. Gọi Dvà E lần lượt là hỡnh chiếu của H lờn AC và AB. 
a. Chứng minh: AB . EB + AC . EH = AB2 
b.Xỏc định vị trớ điểm A sao cho tứ giỏc AEHD cú diện tớch lớn nhất? Tớnh diện tớch lớn nhất đú theo R.
2. Qua đỉnh A của hỡnh vuụng ABCD cạnh là a, vẽ một đường thẳng cắt cạnh BC ở M và cắt đường thẳng DC ở I. 
Chứng minh rằng: .
Cõu 5 ( 2điểm): Cho x, y, z là 3 số thực dương thỏa món xyz=1. 
Chứng minh rằng 
 ..................Hết.....................	
Thớ sinh khụng được sử dụng tài liệu.Giỏm thị coi thi khụng giải thớch gỡ thờm.
Họ và tờn thớ sinh..................................................SBD..............................
HƯỚNG DẪN CHẤM ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI
Mụn: Toỏn 9 
Năm học: 2013-2014
Cõu 1 (4 điểm):Cho biểu thức 
Với (*)
	a) Rỳt gọn biểu thức A;
	b) Tỡm giỏ trị của A khi ;
	c) Với giỏ trị nào của x thỡ đạt giỏ trị nhỏ nhất? tỡm giỏ trị nhỏ nhất đú?
Lời giải sơ lược
Điểm
a) Với điều kiện ta cú:
0,50
0,50
0,50
 .
0,50
b) Dờ̃ thṍy : thoả mãn điờ̀u kiện. Khi đú: .
0,50
 Do vậy, giỏ trị của biểu thức A là: 
0,25
 .
0,25
c) Viết lại, =. Để cú GTNN thỡ cú GTLN, hay cú GTNN.
0,25
Ta cú: , dấu "=" xảy ra khi x = 0.
Giỏ trị nhỏ nhất của là , xảy ra khi x = 0.
0,75
Cõu 2(3 điểm):
a) Chứng minh : Với mọi số tự nhiờn n thỡ an = n(n + 1)(n + 2)(n + 3) + 1 là số chớnh phương. 
b) Giải phương trỡnh: 
Cõu
í
Lời giải sơ lược
Điểm
2
4đ
a
1,5đ
Ta cú :
an = n(n + 1) (n + 2) (n + 3) + 1 
= (n2 + 3n) (n2 + 3n + 2) + 1 
0,5
= (n2 + 3n)2 + 2(n2 + 3n) + 1
= (n2 + 3n + 1)2
0,5
Với n là số tự nhiờn thỡ n2 + 3n + 1 cũng là số tự nhiờn, theo định nghĩa, an là số chớnh phương. 
0,5
b
1,5đ
 Đặt 
0,25
(với a, b, c > 0). Khi đú phương trỡnh đó cho trở thành:
0,5
a = b = c = 2
0,5
Suy ra: x = 2016, y = 2017, z = 2018.
0,25
Cõu 3 (4 điểm): 
	a) Tỡm nghiệm nguyờn của phương trỡnh: 2x2 + 4x = 19 – 3y2.
	b) Tìm các chữ số a, b sao cho M 45
Cõu
í
Lời giải sơ lược
Điểm
3
3đ
a
2đ
Ta cú: 2x2 + 4x = 19 - 3y2 4x2 + 8x = 38 – 6y2
4x2 + 8x + 4 = 42 – 6y2
 (1)
0,5
Vỡ , mà nờn:
y = 0; 
0,5
+ Với y = 1 , từ (1) ị 
 Trường hợp này phương trỡnh cú 2 nghiệm nguyờn là: (2;1) và (-4;1).
+ Với y = -1 
Thỡ từ (1) ị
Trường hợp này pt cú 2 nghiệm nguyờn là: (2;-1) và (-4;-1).
0,5
+ Với 
 pt này khụng cú nghiờm nguyờn vỡ VT chia hết cho 2, VP khụng chia hết cho 2.
0,25
+ Với y = 0, từ(1) ị 
PT này khụng cú nghiệm nguyờn vỡ VT chia hết cho 2; VP khụng chia hết cho 2.
Vậy PT đó cho cú cỏc nghiệm nguyờn là:
 (-4;1); (2;1);(-4;-1); (2;-1)
0,25
b
2đ
Ta thấy 45 = 5.9 mà (5 ; 9) = 1 
để M 45 Û M 5 và 9
0,5
Xét M 5 Û b ẻ {0 ; 5}
0,25
	Nếu b = 0 ta có số M 9 Û a + 5 + 6 + 0 M 9
 ị a + 11 M 9 
 ị a = 7
0,5
	Nếu b = 5 ta có số M 9 Û a + 5 + 6 + 0 M 9
 ị a + 16 M 9 
 ị a = 2
0,5
Vậy: a = 7 và b = 0 ta có số 7560
	a = 2 và b = 5 ta có số 2560
0,25
Cõu 4: (7 điểm) 
1. Cho nửa đường trũn tõm O đường kớnh BC=2R. Điểm A di động trện nửa đường trũn. Gọi H là hỡnh chiếu của điểm A lờn BC. Gọi Dvà E lần lượt là hỡnh chiếu của H lờn AC và AB. 
a. Chứng minh: AB . EB + AC . EH = AB2 
b.Xỏc định vị trớ điểm A sao cho tứ giỏc AEHD cú diện tớch lớn nhất? Tớnh diện tớch lớn nhất đú theo R.
2. Qua đỉnh A của hỡnh vuụng ABCD cạnh là a, vẽ một đường thẳng cắt cạnh BC ở M và cắt đường thẳng DC ở I. 
Chứng minh rằng: .
Cõu
í
Lời giải sơ lược
Điểm
4
7đ
1
4đ
1
a) Chứng minh được tứ giỏc ADHE là hỡnh chữ nhật 	 
Suy ra AB . EB = HB2 
AC . EH = AC . AD = AH2 => ĐPCM 	
1
b) S(ADHE)= AD.AE 
1
 S(ADHE) 
0,5
Vậy Max S(ADHE)=Khi AD = AE 
Hay A là điểm chớnh giữa của cung AB 
0,5
2
3đ
Vẽ Ax AI cắt đường thẳng CD tại J.
Ta cú AIJ vuụng tại A, cú AD là đường cao thuộc cạnh huyền IJ, nờn:
 (1)
1
Xột hai tam giỏc vuụng ADJ và ABM, ta cú:
 AB = AD = a; (gúc cú cạnh tương ứng vuụng gúc)
0,5
.
 Suy ra: AJ = AM
1
Thay vào (1) ta được: (đpcm)
0,5
Cõu 5 ( 2điểm): Cho x, y, z là 3 số thực dương thỏa món xyz=1. 
Chứng minh rằng 
Sơ lược lời giải
Điểm
Đặt x=a3 y=b3 z=c3 ,a,b,c >0 thỡ x, y, z >0 và abc=1.Ta cú
0,25
a3 + b3=(a+b)(a2+b2-ab)(a+b)ab, do a+b>0 và a2+b2-abab
 a3 + b3+1 (a+b)ab+abc=ab(a+b+c)>0
0,5
Tương tự ta cú
0,25
, 
Cộng theo vế ta cú
0,5
=++
 =
Dấu bằng xảy ra khi x=y=z=1
0,5
	Cỏc cỏch khỏc đỳng vẫn cho điểm tối đa