Đề thi chọn học sinh giỏi lớp 9 năm học 2016 - 2017 môn: Toán 9

PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO PHÙ NINH
ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP 9 NĂM HỌC 2016-2017
Môn: TOÁN
Thời gian: 150 phút (không kể thời gian giao đề)
I. PHẦN TRẮC NGHIỆM: 4,0 điểm (mỗi câu đúng được 0,5 điểm)
Thí sinh chọn đáp án đúng và viết kết quả vào tờ giấy thi 
Câu 1 : Với , ta có:
A) x = - 1 ; B) x = - ; C) x1 = 1; x2 = - ; D) x1 = -1; x2 = .
Câu 2 : Biểu thức bằng biểu thức nào sau đây:
A) ; B) ; C) ; D) - 
Câu 3 : Rút gọn biểu thức : với a > 1, được kết quả là:
A) 6; B) - 6; C) 6 (1 – a); D) Một kết qủa khác.
Câu 4 : Rút gọn biểu thức với a < 1, được kết quả là:
A) ; 	 B) - ; C) (1 + a ) ; D) (1 – a2 )
Câu 5 : Rút gọn biểu thức E = với 0 < a < b, được kết quả là:
A) E = ; B) E = - ; C) E = - a; D/ E = a .
Câu 6 : Cho biểu thức . Điêù kiện xác định của biểu thức là:
A) x > 4; B) x > 0 và x 4; C) x 0; D) x 0 và x 4.
Câu 7: Cho hình vẽ bên có cạnh huyền dài 3cm, góc nhọn 650 . 
Độ dài cạnh góc vuông kề với góc 650 gần bằng giá trị nào sau đây :
A) 1cm; B) 2cm; C) 1,2 cm; D) 1,27cm.
Câu 8 : Cho tam giác ABC có Â = 900, AH vuông góc với BC, sinB = 0,6.
 Kết quả nào sau đây là sai:
a) cos C = ; b) cos C = sin HAC; c) cos C = 0,6 ; d) cos C = 
II. PHẦN TỰ LUẬN: 16,0 điểm
Bài 1: (2,0 điểm) 
Chứng minh rằng số có dạng n6 – n4 + 2n3 + 2n2 trong đó nN và n > 1 không phải là số chính phương
Bài 2: (4,0 điểm) 
Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức 
Bài 3: (4,0 điểm) 
Chứng minh rằng nếu với 
thì 
Bài 4: (6,0 điểm) 
Cho AB là đường kính của đường tròn (O;R). C là một điểm thay đổi trên đường tròn (C khác A và B), kẻ CH vuông góc với AB tại H. Gọi I là trung điểm của AC; OI cắt tiếp tuyến tại A của đường tròn (O;R) tại M; MB cắt CH tại K.
Chứng minh 4 điểm C, H, O, I cùng thuộc một đường tròn.
Chứng minh MC là tiếp tuyến của (O;R).
Chứng minh K là trung điểm của CH
Xác định vị trí của điểm C để chu vi tam giác ACB đạt giá trị lớn nhất? Tìm giá trị lớn nhất đó theo R.
................................. Hết .................................
Họ và tên  thí sinh: ................................................................... Số báo danh : .............
PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO PHÙ NINH
HD CHẤM THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP 9 NĂM HỌC 2016-2017
Môn: Toán
I. PHẦN TRÁC NGHIỆM: 4,0 điểm. Đúng mỗi câu được 0,5 điểm 
Câu
1
2
3
4
5
6
7
8
Đáp án
D
C
A
C
A
D
D
A
II. PHẦN TỰ LUẬN: 16,0 điểm
Bài 1: Chứng minh rằng số có dạng n6 – n4 + 2n3 + 2n2 trong đó nN và n>1 không phải là số chính phương
Bài
Gợi ý
Điểm
1
(2,0đ)
n6 – n4 + 2n3 +2n2 = n2.( n4 – n2 + 2n +2 ) = n2.[ n2(n-1)(n+1) + 2(n+1) ] 
 = n2[ (n+1)(n3 – n2 + 2) ] = n2(n+1).[ (n3+1) – (n2-1) ]= n2( n+1 )2.( n2–2n+2)
Với nN, n >1 thì n2-2n+2 = (n - 1)2 + 1 > ( n – 1 )2
 và n2 – 2n + 2 = n2 – 2(n - 1) < n2
 Vậy ( n – 1)2 < n2 – 2n + 2 < n2 n2 – 2n + 2 không phải là một số chính phương
0,5
0,5
0,5
0,5
2
(4,0đ)
Với điều kiện ta có:
M = 
Áp dụng bất đẳng thức Côsi cho hai số không âm,
Ta có: 
 (vì x dương)
Và: 
 (vì y dương)
Suy ra: M = 
Vậy giá trị lớn nhất của M là x = 2, y = 8
0,25
0,5
0,5
0,5
0,75
0,5
0,5
0,5
3
(4,0đ)
 (vì )
 (vì )
0,5
0,5
0,5
0,5
0,5
0,5
0,5
0,5
4
(6,0đ)
Hình vẽ
a) Chứng minh 4 điểm C,H,O,I cùng thuộc một đường tròn 
Chứng minh vuông tại I => I thuộc đường tròn đường kính OC.
 vuông tại H => H thuộc đường tròn đường kính OC.
=> I,H cùng thuộc đường tròn đường kính OC. Hay 4 điểm C,I,H,O cùng thuộc một đường tròn đường kính OC.
1,5
b) Chứng minh MC là tiếp tuyến của đường tròn (O,R) 
- Chứng minh 
- Chứng minh 
- Chứng minh 
 là tiếp tuyến của (O,R)
1,5
c) Chứng minh K là trung điểm của CH 
 có KH // MA ( vì cùng ) 
 (1)
Chứng minh CB // MO ( đồng vị)
Chứng minh (2)
Từ (1) và (2) CH = 2CK CK = KH K là trung điểm của CH.
1,5
d) Xác định vị trí của điểm C để chu vi tam giác ACB đạt GTLN?Tìm GTLN đó? 
Chu vi tam giác ACB là: 
Ta lại có: 
 ( định lý Pi -Ta - Go)
Đẳng thức xảy ra khi AC = CB M là điểm chính giữa cung AB.
Suy ra 
Dấu bằng xảy ra khi M là điểm chính giữa cung AB.
Vậy M là điểm chính giữa cung AB
1,5