PHềNG GD&ĐT THANH OAI TRƯỜNG THCS DÂN HềA ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP 9 NĂM HỌC 2015 - 2016 Mụn: Toỏn Thời gian: 150 phỳt (khụng kể thời gian giao đề) Đề thi gồm cú: 01 trang Cõu 1: (6 điểm) 1.Cho P = a. Rỳt gọn P b. Tớnh P khi x = 23 + 2.Chứng minh rằng A = 13 + 23 + 33 + ...+ 1003 chia hết cho B = 1 + 2 + 3 + ... + 100 Cõu 2: (4 điểm) a. Giải phương trình: b. Cho x;y;z là 3 số thỏa mãn điều kiện: 4x + 2y + 2z - 4xy - 4xz + 2yz - 6y -10z + 34 = 0 Tính giá trị của biểu thức A = (x- 4) + ( y - 4) + (z - 4) Cõu 3: (3 điểm) a) Tỡm nghiệm nguyờn của phương trỡnh: x2 + 2y2 + 2xy + 3y – 4 = 0 b) Cho a, b, c là các sụ́ lớn hơn 1. Tỡm giỏ trị nhỏ nhất của biểu thức: Cõu 4: (6 điểm) Cho AB là đường kớnh của (O; R), C là một điểm thay đổi trờn đường trũn (C khỏc A và B), kẻ CH vụng gúc với AB tại H . Gọi I là trung điểm của AC, OI cắt tiếp tuyến tại A của đường trũn (O;R) tại M, MB cắt CH tại K. a, Chứng minh 4 điểm C, H, O, I cựng thuộc một đường trũn. b, Chứng minh MC là tiếp tuyến của (O,R) c, Chứng minh K là trung điểm CH d, Xỏc định vị trớ của C để chu vi tam giỏc ACB đạt giỏ trị lớn nhất? Tỡm giỏ trị lớn nhất đú theo R. Cõu 5: (1 điểm) Tỡm tất cả cỏc số nguyờn dương , , thoả món - Hết - Lưu ý: Cỏn bộ coi thi khụng giải thớch gỡ thờm! PHềNG GD&ĐT THANH OAI TRƯỜNG THCS DÂN HềA HD CHẤM ĐỀ THI CHỌN HSG LỚP 9 MễN: TOÁN Thời gian làm bài: 150 phỳt Bài Nội dung Điểm Bài 1 ( 6đ) 1. a) Điều kiện để P cú nghĩa là : x ; y; xy P= = = = = b) Đặt A = Ta cú: x = 23 + 2 = 25 Thay x = 25 vào P ta cú: P = 2. Ta cú: B = (1 + 100) + (2 + 99) + ...+ (50 + 51) = 101. 50 Để chứng minh A chia hết cho B ta chứng minh A chia hết cho 50 và 101 Ta cú: A = (13 + 1003) + (23 + 993) + ... +(503 + 513) = (1 + 100)(12 + 100 + 1002) + (2 + 99)(22 + 2. 99 + 992) + ... + (50 + 51)(502 + 50. 51 + 512) = 101(12 + 100 + 1002 + 22 + 2. 99 + 992 + ... + 502 + 50. 51 + 512) chia hết cho 101 (1) Lại cú: A = (13 + 993) + (23 + 983) + ... + (503 + 1003) Mỗi số hạng trong ngoặc đều chia hết cho 50 nờn A chia hết cho 50 (2) Từ (1) và (2) suy ra A chia hết cho 101 và 50 nờn A chia hết cho B 0,5đ 0,5đ 0,5đ 0,5đ 0,5đ 0,5đ 0,5đ 0,5đ 0,5đ 0,5đ 0,5đ 0,5đ Bài 2 ( 4đ) a) (1) ĐKXĐ: Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki, ta cú: VT= Dấu “=” xảy ra khi =ú x= 2 Ta lại cú: VP = Dấu “=” xảy ra khi x = 2 Do đú VT = VP ú x = 2 ( TMĐKXĐ) vậy 0,5đ 0,5đ 0,5đ 0,5đ b) 4x + 2y + 2z - 4xy - 4xz + 2yz - 6y -10z + 34 = 0 Û 4x + y + z - 4xy -4xz + 2yz + y - 6y + 9 + z - 10z +25 = 0 Û ( 2x - y -z) + ( y - 3) + ( z - 5) = 0 Vậy ( 4- 4) + ( 3 - 4) + ( 5 - 4) = 0 0,5đ 0,5đ 0,5đ 0,5đ Bài 3 (3đ) a) x2 + 2y2 + 2xy + 3y – 4 = 0 (1) (1) (x2 + 2xy + y2) + (y2 + 3y – 4) = 0 (x + y)2 + (y - 1)(y + 4) = 0 (y - 1)(y + 4) = - (x + y)2 (2) Vỡ - (x + y)2 0 với mọi x, y nờn: (y - 1)(y + 4) 0 - 4 y 1 Vỡ y nguyờn nờn y Thay cỏc giỏ trị nguyờn của y vào (2) ta tỡm được cỏc cặp nghiệm nguyờn (x; y) của PT đó cho là: (4; -4), (1; -3), (5; -3), ( -2; 0), (-1; 1). b) P = P = P = P = Do . Áp dụng bṍt đẳng thức Cụ-si cho 2 số dương ta có : P Vọ̃y P Dṍu đẳng thức xảy ra khi a = b = c = 2. 0,5đ 0,5đ 0,5đ 0,5đ 0,5đ 0,5đ Bài 4 ( 6đ) Vẽ hỡnh đỳng 0,5đ a) Chứng minh OIAC OIC vuụng tại I I thuộc đường trũn đường kớnh OC Lại cú CHAB (gt) nờn CHO vuụng tại H H thuộc đường trũn đường kớnh OC. Do đú I, H cựng thuộc đường trũn đường kớnh OC. Hay 4 điểm C, I, O, H cựng thuộc một đường trũn. 0,5đ 0,5đ b) Ta cú: gúc ACB = 900 ACCB Mà AC OM CB // OM gúc AOM = gúc OBC (1) Lại cú: gúc CBO = gúc OCB ( vỡ OCB cõn tại O) Gúc OCB = gúc COM ( so le trong) (2) Từ (1) và (2) gúc AOM = gúc COM AOM = COM (c.g.c) gúc MCO = gúc MAO = 900 MCCO MC là tiếp tuyến của (O;R) c) MAB cú KH//MA (cựng vuụng gúc với AB) (1) CM: MAO đồng dạng với CHB (2) Từ (1) và (2) suy ra: CH=2KHCK=KH K là trung điểm của CH c) Chu vi ACB là =AB+AC+CB=2R+AC+CB Ta cú: Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi AC = CB C là điểm chớnh giữa cung AB Vậy để chu vi ACB đạt giỏ trị lớn nhất là 2R(1+) C là điểm chớnh giữa cung AB 0,5đ 0,5đ 0,5đ 0,5 đ 0,5 đ 0,5 đ 0,5 đ 0,5 đ 0,5 đ Bài 5 ( 1đ Ta cú : 100 = 8x+9y+10z > 8x+8y+8z = 8(x+y+z) . Theo giả thiết x+y+z > 11, do ( x+y+z ) nguyờn nờn x+y+z =12. Vậy ta cú hệ Từ y + 2z =4 suy ra z =1 (do y,z > 0) Khi z=1 thỡ y=2 và x=9. Thay x=9; y=2; z=1 thấy thoả món yờu cầu bài toỏn 0,5đ 0,5đ * Chỳ ý: Hs giải cỏch khỏc đỳng vẫn cho điểm tối đa. DUYỆT CỦA BAN GIÁM HIỆU GIÁO VIấN RA ĐỀ Nguyễn Thị Hà Nguyễn Thị Thủy
Tài liệu đính kèm: