Đề thi chọn học sinh giỏi lớp 9 năm học 2014 - 2015 môn thi: Toán - Trường Thcs Tân Ước

Û PHÒNG GD&ĐT
 THANH OAI 
TRƯỜNGTHCSTÂN ƯỚC
ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP 9
Năm học 2014 - 2015
Môn thi: Toán
Thời gian làm bài :150 phút( Không kể thời gian giao đề)
Câu 1 ( 6 điểm)
 Bài 1 ( 4 điểm)
 Cho biểu thức P = với x > 0, x 
 a, Rút gọn P
 b, Tìm x để P = 
 c, So sánh P2 với 2P
Bài 2. ( 2 điểm) Tìm x, y nguyên dương thỏa mãn : ( x2 - 3) + ( xy + 3)
Câu 2. ( 4 điểm)	 
 Bài 1. ( 2 điểm) Giải phương trình
 + + + 3012 = (x + y + z)
Bài 2. ( 2 điểm) Cho a + b + c = 0 và a2 + b2 + c2 = 14
 Tính giá trị của biểu thức: B = a4 + b4 + c4 
Câu 3:( 3 điểm)
Bài 1. (1,5 điểm) Tìm nghiệm nguyên của phương trình
 x2+ 2y2 + 2xy + 3y- 4 = 0
Bài 2.(1,5 điểm) Cho a, b và c là các số thực không âm thỏa mãn . 
 Chứng minh rằng .
Câu 4: (6 điểm) Cho đường tròn (O,R) và một điểm A ở ngoài đường tròn, từ một điểm M di động trên đường thẳng d OA tại A, vẽ các tiếp tuyến MB,MC với đường tròn (B,C là tiếp điểm). Dây BC cắt OM và OA lần lượt tại H và K.
 a) Chứng minh OA.OK không đổi từ đó suy ra BC luôn đi qua một điểm cố định.
 b) Chứng minh H di động trên một đường tròn cố định.
 c) Cho biết OA= 2R. Hãy xác định vị trí của M để diện tích tứ giác MBOC nhỏ nhất. Tính giá trị nhỏ nhất đó.
Câu 5 :( 1điểm) Tìm ba số nguyên dương sao cho tổng của chúng bằng tích của chúng . 
HƯỚNG DẪN CHẤM MÔN TOÁN 9
Câu 1. ( 6 điểm)
Bài 1.(4đ)
a, P = (0.5đ)
 =...= (1.5 đ)
b, P = (1đ)
 	 ( vì với x > 0)
c, P = > 0 vì x > 0 
 P = < 2 vì 	 (0.5 đ)
Ta có P > 0 và P < 2 nên P ( P - 2 ) < 0 
 P2 - 2P < 0 P2 < 2P ( 0.5 đ)
Bài 2.(2đ)
 	( x2 - 3) + ( xy + 3) (1)
 Þ x2y - 3y + xy + 3 
 Þ x(xy + 3 ) - 3( x+ y) + ( xy + 3 ) 
3( x+ y) + ( xy + 3 )
3( x+ y) = k ( xy + 3 ) ( kÎ N * ) (0,5đ) (2)
Nếu k ³ 3 thì 
3( x+ y) = k ( xy + 3) ³ 3( xy + 3)Þ x + y ³ xy + 3 Û ( x - 1)( y - 1) + 2£ 0
( vô lí vì x, y nguyên dương )
-Nếu k = 1 thì từ ( 2) Þ (x - 3 )(y -3 ) = 6 Þ x = 6 và y = 5 hoặc x = 9 và y = 4 (0,5đ)
- nếu k = 2 thì từ (2) ta có: 3(x + y) = 2( xy + 3) Þ xy + 3 (*)
Mà 3(x + y ) = 2(xy +3) Û y( x -3) + x( y- 3) +6 = 0
 Þ x > 3 và y > 3 ( vô lí) ( **) (0,5đ)
Từ (*) (**) suy ra (x; y) = ( 1; 3) , (3; 1)
 Thử lại vào (1) ta được : ( x; y) = (3; 1) (0,25đ)
 Vậy ( x; y) = (6; 5) , (9; 4) , (3; 1) ( 0,25đ)
Câu 2: (4đ)
 Bài 1(2đ).ĐKXĐ: x ³ 2008 ; y ³ 2009 ; z ³ 2010. (0,25đ)
 Û( - 1)2 + ( - 1)2 + ( - 1)2 = 0 (1đ)
 Tìm được : x = 2009 ; y = 2010 ; z = 2011. (0,5đ)
Vậy nghiệm của phương trình là: ( x , y , z) = (2009; 2010; 2011) (0,25đ)
Bài 2: (2đ)
Ta có : a2 + b2 + c2 = 14 Û (a2 + b2 + c2)2 = 142
 Û a4 + b4 c4 = 196 - 2. (a2b2 + b2c2 + a2c2) (1) (0,75đ)
 Vì : a + b + c = 0 Û ( a + b + c)2 = 0
 Û a2 + b2 + c2 + 2(ab + bc + ac) = 0
 Û ab + bc + ac = - 7
 Û a2b2 + b2c2 + a2c2 = 49 (2) (0,75đ)
Từ (1) và (2) Þ B = a4 + b4 c4 = 196 - 2. 49 = 98 (0,5đ)
Câu 3:
 Bài 1:(1,5 ®)
BiÕn ®æi ph­¬ng tr×nh
 x2+ 2y2 +2xy + 3y- 4 = 0(x2+ 2xy + y2) + y2 +3y - 4= 0
 (y+4)(y-1) = - (x+y)2 0 (0,5đ)
 - 4 y1 v× y thuéc Z nªn y (0,5đ) 
 Vậy các cÆp (x;y) tháa m·n ph­¬ng tr×nh lµ :
 (x ; y) = (4;- 4), (1;- 1),(5;-3), (1;3),(2;0), (-2;0) (0,5đ)
Bài 2 .Học sinh phát biểu và CM bất đẳng thức phụ sau:
Với x; y là các số thực dương bất kỳ ta có: (1). 
 Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi x = y. (0,5đ)
Thật vậy: Vì x; y là các số thực dương theo BĐT Côsi ta có
- Áp dụng BĐT (1) ta có:
 (1’) (0,5đ)
Tương tự (2’) ; (3’)
Cộng vế với vế của ba đẳng thức trên ta được:
Đẳng thức xẩy ra khi và chỉ khi (0,5đ)
Câu 4: (6đ)
A
B
O
H
K
C
M
d
- Vẽ hình đúng : (0,5đ)
	 	 a) 
 vBOM có OB2 = OH. OM
 (Không đổi)
 K là điểm cố định. (3đ)
 b. H nằm trên đường tròn đường
 kính OK cố định. (1đ)
c.
Smin OM nhỏ nhất, BC nhỏ nhất 
 (1,5đ)
Câu 5 : Gọi các số nguyên dương phải tìm là : x; y; z .Theo đề bài ta có :
 x + y + z = xyz (1)
Vì các ẩn x , y , z có vai trò bình đẳng trong phương trình nên có thể sắp xếp thứ tự giá trị của các ẩn chẳng hạn : 1 £ x £ y £ z .
xyz = x + y + z £ 3z
 Chia hai vế của bất đẳng thức : xyz £ 3z cho z ta có :
 xy £ 3 Þ xy Î 1; 2; 3 .
Với xy = 1 Þ x = 1 ; y = 1. Thay vào (1) được 2 + z = z (loại)
Với xy = 2 Þ x = 1 ; y = 2. Thay vào (1) được z = 3 (Thỏa mãn)
Với xy = 3 Þ x = 1 ; y = 3. Thay vào (1) được z = 2 ( Loại vì y £ z)
 Vậy ba số phải tìm là : 1; 2 ; 3.
 Người ra đề Xác nhận của tổ chuyên môn Ban giám hiệu duyệt 
 TRẦN THỊ HUYỀN