Đề thi chọn học sinh giỏi lớp 9 huyện Hải Lăng năm học 2015-2016 môn: Toán - Vòng 1

ĐỀ CHÍNH THỨC 
VÒNG 1
PHÒNG GD&ĐT HẢI LĂNG
ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP 9
NĂM HỌC 2015-2016
Môn: Toán
Thời gian làm bài: 120 phút
Bài 1 (4 điểm):
a) Cho số tự nhiên có 2 chữ số chia hết cho 7. Chứng minh rằng hiệu các lập phương của 2 chữ số của số đó chia hết cho 7.
b) Tìm số dư trong phép chia của biểu thức cho đa thức 
Bài 2 (4 điểm): Cho biểu thức P = 
a) Rút gọn P.
b) Tìm giá trị của x để P = -1.
c) Tìm m để với mọi giá trị x > 9 ta có m()P > x+1.
Bài 3 (4 điểm): Tìm nghiệm nguyên dương của: 
Bài 4 (4 điểm): Cho ∆ABC vuông tại A (AB < AC). M là trung điểm BC, qua M kẻ đường thẳng vuông góc BC cắt các đường thẳng AC, AB lần lượt tại H và N. Biết CH = a, BN = b. Tính diện tích ∆ABC.
Bài 5 (4 điểm): Cho tam giác ABC vuông cân tại A. Các điểm D, E theo thứ tự di chuyển trên AB, AC sao cho BD = AE. Xác định vị trí điểm D, E sao cho:
	a) DE có độ dài nhỏ nhất.
	b) Tứ giác BDEC có diện tích nhỏ nhất.
------------- Hết -----------
Lưu ý : Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm.
Họ và tên thí sinh:	.......	Số BD: .
HƯỚNG DẨN CHẤM THI HSG VÒNG 1
MÔN TOÁN 9 (2015-2016)
Bài 1 (4 điểm) mỗi câu 2 điểm: 
a) Gọi số có 2 chữ số là : ab (a,b ÎN ;0< a £9;0 £ b £ 9)
Ta có: ab7 hay 10a + b7 suy ra (10a + b)37 
1000a3 + b3 +3.10a.b(10a + b)7 (*) 
1001a3 - a3 + b3 + 3.10a.b(10a + b)7.
Ta có: 1001a37 (vì 10017) và 3.10a.b(10a + b)7 (vì (10a + b)7 ) 
Suy ra : -a3 + b37 đpcm
b) Ta có: 
Đặt , biểu thức P(x) đợc viết lại:
Do đó khi chia cho t ta có số dư là 2001.
Bài 2 (4 điểm): 
a) ĐK: x0; x4 và x9.
0,5 đ
HS rút gọn đúng P = 
1 đ
b) Với x0; x4 và x9 thì P = -1 khi và chỉ khi 4x + - 3 = 0
0,5 đ
= x = 
1 đ
c) Với mọi giá trị x > 9, bất phương trình đưa được về dạng 
4mx > x+1 (4m - 1)x > 1. (*)
0,5 đ
Vì x > 9 nên 4m – 1 > 0.
0,5
Nghiệm bất phương trình (*) là x > 1/(4m-1). Do đó để bất phương trình thỏa mãn với mọi x > 9 thì và 4m - 1 > 0. 
Từ đó ta được 
Bài 3 (4 điểm): 
Nhân 2 vế cho 6xy ta được: 6y + 6x +1 = xy. (x,y nguyên dương)
Biến đổi về phương trình ước số: (x – 6)(y – 6) = 37 (x,y nguyên dương)
Vai trò x,y bình đẳng nên giả sử : x ≥ y ≥ 1. 
Suy ra: x -6 ≥ y -6 ≥ -5.
Suy ra: x - 6 = 37 và y - 6 =1. 
Giải ra : x = 43 ; y = 7. ĐS:(43;7);(7:43)
Bài 4 (4 điểm): 
Ta có 2 tam gác vuông MHC và MBN đồng dạng (góc nhọn) 
(do MB = MC)
∆MHC vuông tại M: MH2 + MC2 = HC2
+MC2 = a2
MC2 =MC = từ đó = 
Hai tam gác vuông MHC và ABC đồng dạng (góc nhọn) 
(do BC = 2MC)
AB = = = (1)
∆ABC vuông tại A: AC2= BC2 - AB2 = (2MC)2 - AB2
A
D
B
C
 E
=- = AC = (2), từ (1) và (2) ta có diện tích ∆ABC = AB.AC = ..= 
Bài 5 (4 điểm): (Mỗi câu 2 điểm)
a) (2đ): DE có độ dài nhỏ nhất
Đặt AB = AC = a không đổi; AE = BD = x (0 < x < a)
Áp dụng định lý Pitago với ADE vuông tại A có:
DE2 = AD2 + AE2 = (a – x)2 + x2 = 2x2 – 2ax + a2 = 2(x2 – ax) + a2 (0,5đ)
= 2(x –)2 + 	 (0,5đ)
	Ta có DE nhỏ nhất DE2 nhỏ nhất x = (0,5đ)
 BD = AE = D, E là trung điểm AB, AC	 (0,5đ)
b) (2đ) : Tứ giác BDEC có diện tích nhỏ nhất.
Ta có: SADE =AD.AE =AD.BD =AD(AB – AD)=(AB.AD – AD2) 	(0,5đ)
= –(AD2 – 2.AD + ) + = –(AD – )2 + 	(0,5đ)
	Vậy SBDEC = SABC – SADE – = AB2 không đổi 	(0,5đ)
Do đó min SBDEC =AB2 khi D, E lần lượt là trung điểm AB, AC 	(0,5đ)
----------------------------------
Thí sinh giải cách khác đúng vẩn dạt điểm tối đa.