Đề thi chọn học sinh giỏi lớp 8 năm học 2008 - 2009 môn thi: Toán

phòng gd & đt tam dương
đề chính thức
Đề thi chọn học sinh giỏi lớp 8 
năm học 2008-2009
Môn thi: Toán
Thời gian làm bài: 120 phút – Không kể thời gian giao đề
Bài 1. 
Đa thức bậc 4 có hệ số bậc cao nhất là 1 và thoả mãn f(1) = 5; f(2) =11; f(3) = 21. Tính f(-1) + f(5).
Bài 2. 
a)Tìm tất cả các số nguyên n sao cho : n4+ 2n3 + 2n2+ n +7 là số chính phương.
b)Tìm nghiệm nguyên của của phương trình x2+ xy+y2=x2y2
Bài 3. Chứng minh rằng : (x-1)(x-3)(x-4)(x-6) + 10 > 0 với mọi x
Bài 4. 
a) Cho tam giác ABC gọi M,N lần lượt là trung điểm của BC, AC. Gọi O,H,G lần lượt là giao ba đường trung trực, ba đường cao, ba đường trung tuyến của tam giác ABC.
	Tính tỉ số GH : GO
	b)Cho hình thang ABCD có hai đáy AB = 2a, CD= a, Hãy dựng điểm M trên đường thẳng CD sao cho đường thẳng AM cắt hình thang làm hai phần có diện tích bằng nhau.
Bài 5. 
Cho x0,y0,z0 và x+y+ z =1 Chứng minh rằng xy+yz+zx-2xyz 
------------- Giám thị không giải thích gì thêm --------------
Phòng GD-ĐT Tam Dương
Hướng dẫn chấm
chọn Hoc sinh giỏi lớp 8 : 2008-2009
Môn: Toán
C Câu
Điểm toàn bài
Nội dung
Điểm thành phần
1
2 điểm
Nhận xét: g(x) = 2x2 + 3 thoả mãn g(1) = 5; g(2) = 11; g(3) = 21.
 Q(x) = f(x) - g(x) là đa thức bậc 4 có 3 nghiệm x = 1,x = 2, x = 3
 Vậy Q(x) = (x - 1)(x - 1)(x - 3)(x - a); ta có: 
 f(-1) = Q(-1) + 2(-1)2 + 3 = 29 + 24a.
 f(5) = Q(5) + 2.52 + 3 = 173 - 24a.
 => f(-1) + f(5) = 202
 0,5
0,5
0,5
0,5
2
1, 5 điểm
 a) (0,75 điểm)
 Giả sử n4+ 2n3 + 2n2+ n +7= y2 ( yN)
Ta có y2 = (n2+ n)2 + n2+ n +7
y2 > (n2+ n)2
y > 
y +1 Vì ( yN)
y2
y2 (n2+ n +1)2
thay y2 = (n2+ n)2 + n2+ n +7
n2 + n -6 < 0 
ú (n-2) (n+3) 0
ú -3 n 2
Thử trực tiếp n = 2, n=-3 thỏa mãn
Vậy số nguyên n cần tìm là n = 2;-3
b) (0,75 điểm)
Thêm xy vào hai vế của PT ta có 
 x2 + 2xy + y2 = x2y2 + xy
 ú (x+y)2 = xy(xy+1)
Ta thấy xy và xy+1 là hai số nguyên liên tiếp có tích là một số chính phương nên tồn tại một số bằng 0
TH1 xy =0 => x2 + y2 = 0 => x=y = 0
TH2 xy+1 = 0 ta có xy = -1 nên (x,y) bằng (1;-1) hoặc (-1;1)
Thử lại ba cặp số (0;0); (-1;1), (1;-1) đều là nghiệm của phương trình đã cho
0,25
0,25
0,25
0,25
0,25
0,25
3
1,5 điểm
Ta có (x-1)(x-3)(x-4)(x-6) + 10 = (x-1) (x-6) (x-3)(x-4) + 10
 = (x2 - 7x+6)(x2 -7x +12) +10 
= (x2 - 7x+ 9 -3)(x2 -7x + 9 +3) +10
= (x2 - 7x+ 9)2 -9 +10 = (x2 - 7x+ 9)2 + 1 > 0 với mọi x 
 Vì với mọi x
Do đó (x2 - 7x+ 9)2 + 1 > 0 với mọi x (bài toán được chứng minh)
0,25
0,5
0,25
0,5
4
3điểm
Ta có OM//AH ( vì cùng vuông góc với BC)
 ON//BH ( vì cùng vuông góc với AC)
 NM//AB ( đường trung bình của tam giác)
Xét ABH và MNO
Có ( góc có cạnh tương ứng song song)
 ( góc có cạnh tương ứng song song)
 => ABH MNO ( góc - góc)
 => 
Xét AGH và MOG
Có ( So le trong) (1)
 ( Tính chất trọng tâm) (2)
 (Cmt) (3)
Từ (1) (2) và (3) suy ra AHG MOG ( c-g-c)
=> (4)
Măt khác A,G,M thẳng hàng (5)
Từ (4) và (5) => H,G,O thẳng hàng và 
b)Gọi h là đường cao của hình thang ABCD
Giả sử đã dựng được điểm M thuộc CD sao cho đường thẳng AM cắt hình thang thành hai phần có diện tích bằng nhau.
Gọi N là giao điểm của AM và BC.
Đăt S1 = SADCN ; S2 = SANB;; S = SABCD
Ta có => S2 = S: 2 (1)
Kẻ đường cao NH của tam giác ANB và đặt NH= x ta có:
Thay vào (1) : 
áp dụng định lí ta lét => suy ra cách dựng:
Chia đoạn BC làm 4 phần bằng nhau, Lấy điểm N trên BC sao cho 
Đường thẳng AN cắt đường thẳng CD tại điểm M cần dựng
0,5
0,5
0,25
0,25
0,5
0,5
0,25
0,25
5
2 điểm
áp dụng bất đẳng thức cô si ta có xyz 
Mặt khác :
ú xyz (x+y-z)(y+ z-x)(z+x-y) 
 ú xyz (1-2z)(1-2x)(1-2y)
 ú xyz 1- 2(x+y+z)+ 4 (xy+yz+zx)-8xyz
 ú xyz 1- 2 + 4 (xy+yz+zx)-8xyz
 ú 1+ xyz 4 (xy+yz+zx)-8xyz
 ú 1+ 4 (xy+yz+zx)-8xyz
 ú xy+yz+zx-2xyz (ĐPCM)
0,5
0,5
0,5
 0,5
N
A
H
D
C
K
M
B
h
x
a
2a
A
B
C
N
M
H
G
O
Hình bài 4a
Hình bài 4b
 Ghi chú: HS giải theo cách khác đúng vẫn cho điểm ( câu hoặc phần đó )