Đề thi chọn học sinh giỏi lớp 8 môn Toán học

CỔNG TY CỔ PHẦN GIÁO DỤC THĂNG TIẾN THĂNG LONG 
16-17 
Trụ sở chính:766/36-766/38 CMT8, P.5, Q. TÂN BÌNH, 38 420 372 – 38 460 835 
Trang 1 www.thangtienthanglong.edu.vn 
1 
(NGÀY THI: 30- 9 -2016) 
Bài 1: Rút gọn (2 điểm) 
a)     
2
3x 1 3x 2 3x 2    
b)     3 2x 2 x 2 3 x    
c)     3 2 2x 2 x 1 1 x x 6x      
Bài 2: Phân tích đa thức thành nhân tử (2 điểm) 
a) 3 23x 6x 3x  
b) 4 2x 3x 4  
c)  
3 3 3 3a b c a b c     
Bài 3: (2 điểm) 
a) Chứng minh: Tổng lập phương của 3 số nguyên liên tiếp thì chia hết cho 9. 
b) Cho a + b + c = 0. Rút gọn  2 2 3 3N c a b a b abc     
Bài 4: (1 điểm) Trên bảng cĩ 10 dấu (+) và 15 dấu (-). Tí và Thân thực hiên trị chơi như sau: mỗi lần lấy 
ra hai dấu bất kỳ và thay chúng bởi một dấu (+) nếu hai dấu được lấy ra đều là dấu (+) hoặc đều là dấu (-), 
cịn nếu hai dấu được lấy ra cĩ một dấu (+) và một dấu (-) thì thay chúng bởi một dấu (-). Hỏi sau một số 
lần như vậy cĩ thể nhận được kết quả mà trên bảng chỉ cịn lại đúng một dấu (+) được khơng? 
Bài 5: (2 điểm) Cho ABC vuơng tại A cĩ đường cao AH. Gọi D, E lần lượt là các điểm đối xứng của H 
qua AB và AC. 
a) Chứng minh: ba điểm D, A, E thẳng hàng. 
b) Chứng minh: tứ giác BDEC là hình thang vuơng và BC = BD + CE. 
Bài 6: (1 điểm) Cho hình thang cân ABCD cĩ đáy lớn CD, cĩ đường cao là BH. Biết AB + CD = 2BH. 
Chứng minh: AC BD 
  HẾT   
ĐỀ THI CHỌN 
HỌC SINH GIỎI LỚP 8 
Trường ĐẶNG TRẦN CƠN (2016-2017) 
CỔNG TY CỔ PHẦN GIÁO DỤC THĂNG TIẾN THĂNG LONG 
16-17 
Trụ sở chính:766/36-766/38 CMT8, P.5, Q. TÂN BÌNH, 38 420 372 – 38 460 835 
Trang 2 www.thangtienthanglong.edu.vn 
2 
Bài 1: Rút gọn (2 điểm) 
a)     
2
3x 1 3x 2 3x 2    
2 29x 6x 1 9x 4 6x 5       
b)     3 2x 2 x 2 3 x    
3 2 3 2 2x 6x 12x 8 3x x 6 2x 8x 15x 2            
c)     3 2 2x 2 x 1 1 x x 6x      
3 2 3 2x 6x 12x 8 x 1 6x 12x 7         
Bài 2: Phân tích đa thức thành nhân tử (2 điểm) 
a) 3 23x 6x 3x  
   223x x 2x 1 3x x 1     
b) 4 2x 3x 4  
       
2
4 2 2 2 2 2 2 2 2x 4x 4 x x 2 x x 2 x x 2 x x x 2 x x 2                 
c)  
3 3 3 3a b c a b c     
         
        
        
            
3 3 3
3 3 3 3
3 3
3 3
2
a b c a b c a b c a b c 3ab a b
a b c a b c 3c. a b a b c 3ab a b
a b c a b c 3c. a b a b c 3ab a b
3 a b ac bc c ab 3 a b c a c b a c 3 a b a c b c
              
  
            
  
           
               
Bài 3: (2 điểm) 
a) Chứng minh: Tổng lập phương của 3 số nguyên liên tiếp thì chia hết cho 9. 
Cách 1: Gọi 3 số nguyên liên tiếp là n-1, n , n + 1 với n Z 
Đặt    
3 3
3
A n 1 n n 1     
Ta cĩ: 
        
3 2 3 3 2 3
2 2 2
A n 3n 3n 1 n n 3n 3n 1 3n 6n
3n n 2 3n n 1 3 3n n 1 9n 3n n 1 n 1 9n
          
           
Ta cĩ: n- 1,n, n+1 là ba số nguyên liên tiếp nên cĩ 1 số chia hết cho 3 
      n n 1 n 1 3 3n n 1 n 1 9    
Mà  9n 9 n Z  nên   3n n 1 n 1 9n 9 A 9       đpcm 
HƯỚNG DẪN ĐỀ THI CHỌN 
HỌC SINH GIỎI LỚP 8 
Trường ĐẶNG TRẦN CƠN (2016-2017) 
CỔNG TY CỔ PHẦN GIÁO DỤC THĂNG TIẾN THĂNG LONG 
16-17 
Trụ sở chính:766/36-766/38 CMT8, P.5, Q. TÂN BÌNH, 38 420 372 – 38 460 835 
Trang 3 www.thangtienthanglong.edu.vn 
3 
Cách 2:Gọi 3 số nguyên liên tiếp là n, n + 1, n + 2 với n Z 
Đặt    
3 3
3
A n n 1 n 2     
Ta cĩ: A = n
3
+(n
3
+3n
2
+3n+1)+(n
3
+6n
2
+12n+8) =3n
3
+9n
2
+15n+9 = 3(n
3
+3n
2
+5n+3) 
 Đặt B= n3+3n2+5n+1 = n3+n2+ 2n2+2n + 3n+3 
=n
2
(n+1) +2n(n+1) +3(n+1) = n(n+1)(n+2) + 3(n+1) 
Ta thấy n(n+1)(n+2) chia hết cho 3 ( vì tích của 3 số nguyên liên tiếp ) 
và 3(n+1) chia hết cho 3 B chia hết cho 3  A =3B chia hết cho 9. 
Vậy: Tổng lập phương của 3 số nguyên liên tiếp thì chia hết cho 9. 
b) Cho a + b + c = 0. Rút gọn  2 2 3 3N c a b a b abc     
Ta cĩ: a b c 0 a b c       
Do đĩ, ta cĩ:        2 32 2 3 3N c a b a b abc c a b 2ab a b 3ab a b abc               
     
2 3 3 3c c 2ab c 3ab c abc c 2abc c 3abc abc 0              
 
Bài 4: (1 điểm) Trên bảng cĩ 10 dấu (+) và 15 dấu (-). Tí và Thân thực hiện trị chơi như sau: mỗi lần lấy 
ra hai dấu bất kỳ và thay chúng bởi một dấu (+) nếu hai dấu được lấy ra đều là dấu (+) hoặc đều là dấu (-), 
cịn nếu hai dấu được lấy ra cĩ một dấu (+) và một dấu (-) thì thay chúng bởi một dấu (-). Hỏi sau một số 
lần như vậy cĩ thể nhận được kết quả mà trên bảng chỉ cịn lại đúng một dấu (+) được khơng? 
Do mỗi lần lấy ra hai dấu bất kỳ và thay chúng bởi một dấu (+) nếu hai dấu được lấy ra đều là dấu (+) hoặc 
đều là dấu (-), cịn nếu hai dấu được lấy ra cĩ một dấu (+) và một dấu (-) thì thay chúng bởi một dấu (-) 
Nên sau mỗi lần thực hiện thì số dấu trên bảng giảm đi 1 và số dấu (-) sẽ giữ nguyên hoặc giảm đi 2 
Lúc đầu trên bảng cĩ 15 dấu (-), do vậy số dấu trừ trên bảng luơn lẻ 
Trên bảng cĩ10+ 15 =25 dấu nên sau khi 24 lần thực hiện như vậy thì dấu cịn lại trên bảng là 1. 
Dấu đĩ phải là dấu (-) 
Do đĩ, sau một số lần như vậy ta khơng cĩ thể nhận được kết quả mà trên bảng chỉ cịn lại đúng một dấu 
(+). 
Bài 5: (2 điểm) Cho ABC vuơng tại A cĩ đường cao AH. Gọi D, E lần lượt là các điểm đối xứng của H 
qua AB và AC. 
a) Chứng minh: ba điểm D, A, E thẳng hàng. 
Ta dễ chứng minh được: BAD BAH BAD BAH     BA là tia phân giác của DAH DAH 2BAH  
Cmtt, ta cĩ: EAH 2CAH 
Do đĩ, ta cĩ:   0 0DAH EAH 2BAH 2CAH DAE 2 BAH CAH DAE 2BAC 2.90 180          
 ba điểm D, A, E thẳng hàng. 
E
D
HB
C
A
CỔNG TY CỔ PHẦN GIÁO DỤC THĂNG TIẾN THĂNG LONG 
16-17 
Trụ sở chính:766/36-766/38 CMT8, P.5, Q. TÂN BÌNH, 38 420 372 – 38 460 835 
Trang 4 www.thangtienthanglong.edu.vn 
4 
b) Chứng minh: tứ giác BDEC là hình thang vuơng và BC = BD + CE. 
Ta cĩ: 
 
 
0
0
0
BDA BHA BAD BAH BDA 90
BDA CEA 180
CEA CHA CAE CAH CEA 90
      
    
     
Mà 2 gĩc này nằm ở vị trí trong cùng phía nên BD // CE 
Do đĩ, tứ giác BDEC là hình thang 
Mặt khác:  0 0BDE 90 doBDA 90  nên tứ giác BDEC là hình thang vuơng. 
Dễ thấy: 
BH BD
BH CH BD CE BC BD CE.
CH CE

      

Bài 6: (1 điểm) Cho hình thang cân ABCD cĩ đáy lớn CD, cĩ đường cao là BH. Biết AB + CD = 2BH. 
Chứng minh: AC BD 
Trên tia đối của tia CD lấy điểm K sao cho CK = AB. 
Ta dễ chứng minh được tứ giác ABKC là hình bình hành AC BK //  và AC = BK. 
Mà AC = BD nên BD = BK BDK cân tại B. 
Ta cĩ: 
DK CK CD
DK AB CD
CK AB
 
  

 mà  AB CD 2BH gt  nên 
1
DK 2BH BH DK
2
   
Xét BDK cân tại B, ta cĩ: BH là đường cao nên BH là đường trung tuyến của BDK . 
Xét BDK , ta cĩ: 
 
BH BDK
BDK1
BH DK cmt
2
 là đường trung tuyến của 
 vuông tại B


 


BK BD  mà BK // AC (cmt) nên AC BD . 
   HẾT   
D C
A
KH
B