Đề thi chọn học sinh giỏi lớp 8 cấp trường năm học: 2015 - 2016 đề thi môn: Toán 8

KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP 8 CẤP TRƯỜNG 
NĂM HỌC: 2015-2016
Đề thi môn: Toán 8
Thời gian: 120 phút (không kể thời gian phát đề)
________________________
Câu 1: ( 5 điểm)
Cho a là một số nguyên. Chứng minh rằng biểu thức:
M = (a + 1)(a + 2)(a + 3)(a +4) + 1 là bình phương của một số nguyên
Câu 2: ( 5 điểm)
Cho đa thức: B = ( a2 + b2 – c2 ) – 4a2b2.
Phân tích B thành nhân tử
Chứng minh rằng nếu a, b, c là số đo độ dài các cạnh của một tam giác thì B <0 
Câu 3: ( 5 điểm)
Cho phân thức:
P = 
a) Rút gọn phân thức
b) Tìm giá trị của x để giá trị phân thức bằng 0
Câu 4: ( 5 điểm)
Cho hình vuông ABCD, điểm E thuộc cạnh CD. Tia phân giác của góc ABE cắt AD ở K. Chứng minh rằng AK + CE = BE
HẾT
KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP 8 CẤP TRƯỜNG 
NĂM HỌC: 2015-2016
Đề thi môn: Toán 8
Thời gian: 120 phút (không kể thời gian phát đề)
ĐÁP ÁN VÀ BIỂU ĐIỂM
Câu 1: ( 5 điểm)
Ta có: M = (a + 1)(a + 2)(a + 3)(a +4) + 1 
= (a2 + 5a + 4)(a2 + 5a + 6) + 1 (1đ)
Đặt a2 + 5a + 5 = t (1đ)
Do đó M = ( t – 1)( t + 1) +1 = t2 – 1 + 1 = t2 = (a2 + 5a + 5)2 (1đ)
Vì a Z nên a2 + 5a + 5 Z (1đ)
Vậy M là bình phương của một số nguyên (1đ)
Câu 2: ( 5 điểm)
a) Phân tích B thành nhân tử
Ta có: B = ( a2 + b2 – c2 )2 – 4a2b2 = 
 = ( a2 + b2 – c2 )2 – (2ab)2 = (1đ)
 = (a2 + b2 – c2 + 2ab)( a2 + b2 – c2 - 2ab) = (1đ)
 = ( a + b + c)(a + b – c)(a – b + c)(a – b – c) (1đ)
Chứng minh rằng nếu a, b, c là số đo độ dài các cạnh của một tam giác thì B <0
Vì a, b, c là độ dài ba cạnh của tam giác nên a + b + c > 0 ; a + b – c > 0; a – b + c > 0 và a – b – c < 0 (1đ)
Do đó : B < 0 (1đ)
Câu 3: ( 5 điểm)
a) Rút gọn phân thức
ĐK: x -4 và x 2 (1đ)
Ta có:
P = 
= (1đ)
= = (1đ)
b)Tìm giá trị của x để giá trị phân thức bằng 0
P = 0 khi = 0 (0.5đ)
Vì x + 4 0 nên (x2 + 3)(x2 – 1) = 0 mà x2 + 3 > 0 x (1đ)
Do đó để P = 0 thì x2 – 1 = 0 x =1 hoặc x = -1 ( TMĐK) (0.5đ) 
Câu 4: ( 5 điểm) ( Vẽ hình đúng được 0.5đ)
Chứng minh rằng AK + CE = BE	
Trên hình vẽ ta lấy điểm M trên tia đối của tia CD sao cho CM = AK. (0.5đ)
Ta có: AK + CE = CM + CE = EM (0.5đ)
Vì BAK = BCM ( c-g-c) (0.5đ)
K1 = M, B1 = B4 (0.5đ)
Ta lại có B1 = B2 nên B2 = B4 (0.5đ)
EBM = B3 + B4 = B3 + B2 = KBC = K1 = M (1đ)
EBM cân BE = ME	 (0.5đ)
Do đó BE = MC + CE = AK + CE	 (0.5đ)