Đề thi chọn học sinh giỏi lớp 8 cấp tỉnh năm học 2016 – 2017 môn Toán

 Trần Ngọc Nam – Trường THCS Mường So – Phong Thổ - Lai Châu 
UBND TỈNH LAI CHÂU 
SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO 
KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP 8 CẤP TỈNH 
NĂM HỌC 2016 – 2017 
Môn: Toán 
Thời gian: 150 phút (không kể thời gian giao đề) 
Ngày thi: 09/04/2017 
Câu 1. (2,0 điểm) 
Cho biểu thức
2 2
3
6 1 10
: 2
4 6 3 2 2
x x
A x
x x x x x
   
             
a) Rút gọn A; 
b) Tìm giá trị nguyên của x để A có giá trị nguyên. 
Câu 2. (4,0 điểm) 
a) Phân tích các đa thức      xy x y yz y z xz x z     thành nhân tử. 
b) Chứng minh rằng:  
2
3 2 7 36B n n n  
chia hết cho 105 với mọi số nguyên n. 
Câu 3. (4,0 điểm) 
a) Giải phương trình: 2 22 2 9 6 3x xy y x y      
b) Cho a, b, c thỏa mãn điều kiện 2017abc  . 
Tính giá trị của biểu thức: 
2 2 22017
2017 2017 2017 1
a bc ab c abc
P
ab a bc b ac c
  
     
Câu 4. (5,0 điểm) 
 a) Giải phương trình sau: 
3 4 1 5
4 9 2 36
x x x  
   
 b) Cho 1ab  . Chứng minh rằng: 2 2
1 1 2
1 1 1a b ab
 
  
Câu 5. (5,0 điểm) 
 Cho hình vuông EFGH. Từ E, vẽ góc vuông xEy sao cho cạnh Ex cắt các đường 
thẳng FG và GH theo thứ tự ở M và N, còn cạnh Ey cắt hai đường thẳng trên lần lượt ở 
P và Q. 
 a) Chứng minh rằng các tam giác EMQ và ENP là các tam giác vuông cân. 
 b) Đường thẳng QM cắt NP tại R. Gọi I và K theo thứ tự là trung điểm của PN và 
QM. Tứ giác EKRI là hình gì? Vì sao? 
 c) Chứng minh bốn điểm F, H, K, I thẳng hàng. 
---------------Hết-------------- 
Thí sinh không được sử dụng tài liệu. Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm 
ĐỀ THI CHÍNH THỨC 
(Đề thi gồm 01 trang) 
 Trần Ngọc Nam – Trường THCS Mường So – Phong Thổ - Lai Châu 
 Trang 1/1 
HƯỚNG DẪN CHẤM ĐỀ CẤP TỈNH LAI CHÂU 
NĂM HỌC 2016-2017 
Đáp án chỉ mang tính chất tham khảo 
 Đáp án Điểm 
Câu 1 2,0 
a 
(1,0) 
2 2
3
6 1 10
: 2
4 6 3 2 2
x x
A x
x x x x x
   
             
 ( 0; 2x x   ) 
  
 
  
 
  
2 2 22 2 2 4 10
:
2 2 2 2 2 2 2
x x x xx x x
x x x x x x x x x x
     
   
       
     
2 2 22 4 2 2 6 2
. .
2 2 6 2 2 6
x x x x x x x x
x x x x x x
      
 
   
1
2x



0,25 
0,25 
0,25 
0,25 
b 
(1,0) 
A có giá trị nguyên    
1
2 1 1
2
Z x U
x

      

Ta có 
 2 1 3x x tm    
 2 1 1x x tm     
Vậy  1;3x thì A có giá trị nguyên 
0,25 
0,25 
0,25 
0,25 
Câu 2 4,0 
a 
(2,0) 
     
     
xy x y yz y z xz x z
xy x z y z yz y z xz x z
    
       
       xy y z xy x z yz y z xz x z        
     y y z x z x x z y z      
   y z x z x y    
0,5 
0,5 
0,5 
0,5 
 Trần Ngọc Nam – Trường THCS Mường So – Phong Thổ - Lai Châu 
b 
(2,0) 
     
22 2
3 2 2 2 2 2 27 36 7 6 7 6B n n n n n n n n n               
      2 2 3 37 6 7 6 7 6 7 6n n n n n n n n n n               
  3 36 6 6 6n n n n n n n      
         
     
     
      
       
2 2
2 2
1 1 6 1 1 1 6 1
1 6 1 6
1 3 2 6 1 3 2 6
1 3 2 1 3 2
3 2 1 1 2 3
n n n n n n n n n
n n n n n n n
n n n n n n n n n
n n n n n n n
n n n n n n n
              
            
              
      
      
Là tích của 7 số nguyên liên tiếp nên chia hết cho 3, cho 5, cho 7 
Mà (3,5,7) = 1 nên tích trên chia hết cho 3.5.7=105 
Vậy  
2
3 2 7 36B n n n  
chia hết cho 105 với mọi số nguyên n.
0,25 
0,25 
0,25 
0,25 
0,25 
0,25 
0,25 
0,25 
Câu 3 4,0 
a 
(2,0) 
   
2 2
2 2 2
2 2
2 2 9 6 3
2 6 9 3
3 3
x xy y x y
x xy y x x y
x y x y
     
        
      
Ta có VT    
2 2
3 0x y x     , với mọi x, y; VP 3 0y    với mọi y 
Nên VT=VP
   
2 2 0
3 0
3 0 3
3 0
3 0 3
x y x y
x y x
x x
y
y y
    
      
       
         
Vậy nghiệm của phương trình là (3; -3) 
0,25 
0,25 
0,5 
0,25 
0,5 
0,25 
b 
(2,0) 
Ta có  2017 2017 1ab a ab abca abc ab ac c        
  2017 1bc b bc b abc b c ac        
Khi đó 
   
 
2 2 2 2
2
2017
1 1 1 1 1 1
1
2017
1 1
a bc ab c abc abcac abc abc
P
ab c ac b c ac ac c c ac c ac ac c
abc ac cabcac abc abc
abc
c ac c ac
     
           
  
   
   
Vậy với a, b, c thỏa mãn điều kiện 2017abc  thì giá trị của biểu thức 
0,5 
0,5 
0,5 
0,25 
0,25 
 Trần Ngọc Nam – Trường THCS Mường So – Phong Thổ - Lai Châu 
2 2 22017
2017
2017 2017 2017 1
a bc ab c abc
P
ab a bc b ac c
   
     
Câu 4 5,0 
a 
(2,5) 
 
3 4 1 5
4 9 2 36
9 3 4 4 18 5
36 36 36 36
9 3 4 4 18 5
9 3 4 4 13 1
x x x
x x x
x x x
x x x
  
  
  
   
      
     
Lập bảng xét dấu 
x -3 4 
x + 3 - 0 + + 
x - 4 - - 0 + 
+) Với 3x   , PT (1) trở thành 
   
 
9 3 4 4 13
9 27 16 4 13
4 56
14
x x x
x x x
x
x tm
     
      
  
  
+) Với 3 4x   , PT (1) trở thành 
   
 
9 3 4 4 13
9 27 16 4 13
14 2
1
7
x x x
x x x
x
x tm
    
     
 
 
+) Với 4x  , PT (1) trở thành 
   
 
9 3 4 4 13
9 27 4 16 13
6 30
5
x x x
x x x
x
x kotm
    
     
  
  
Vậy 
1
14;
7
S
 
  
 
0,5 
0,5 
0,5 
0,5 
0,5 
 Trần Ngọc Nam – Trường THCS Mường So – Phong Thổ - Lai Châu 
b 
(2,5) 
2 2
2 2 2 2 2 2
1 1 2
1 1 1
a b
VT
a b a b a b
 
  
    
Theo BĐT Cô si ta có 2 2 2a b ab  và 1ab  (GT)  
2 2 2 1ab a b   
Khi đó 
 
2 2
2 2 2 2 2 2
1 1 2 2 2 2 2 4
1 1 1 1 2 1 2 2 2 1
a b ab
VT
a b a b a b ab ab ab
   
     
        
2
1
VT
ab
 

hay 2 2
1 1 2
1 1 1a b ab
 
  
(đpcm) 
0,5 
0,5 
0,5 
0,5 
0,5 
Câu 5 5,0 
3
2
1
K
I
R
Q
P
N
GF
E H
M
0,25 
a 
Ta có EF = EH (GT); HNE EPF (cùng phụ góc NMG) 
EFP= EHN  (cạnh góc vuông–góc nhọn) 
EP EN ENP    vuông cân tại E 
Tương tự Ta có EF = EH (GT) 
1 2E E (cùng tạo với góc E3 góc 90
0) 
EFM= EHQ  (cạnh góc vuông–góc nhọn) 
EM EQ EQM   vuông cân tại E 
0,5 
0,5 
0,5 
0,25 
b Tứ giác EKRI là hình chữ nhật vì 0,5 
 Trần Ngọc Nam – Trường THCS Mường So – Phong Thổ - Lai Châu 
IE là trung tuyến trong tam giác vuông cân EPN tại E nên IE là phân giác, 
đường cao 090EIR  
Tương tự EK là phân giác, đường cao trong tam giác vuông cân EMQ nên 
090EKR  
Mà  
0
01 180 90
2 2
IEK IEN MEK PEN NEQ      
0,5 
0,25 
0,25 
c 
Kẻ IG là trung tuyến trong tam giác vuông PGN 
1
2
IG IE PN I    nằm trên trung trực của EG 
Tương tự kẻ KG ta được KG=KE=
1
2
MQ K nằm trên trung trực của EG 
Mà FG=FE, HG = HE (GT) ,F H nằm trên trung trực của EG 
Khi đó bốn điểm I, F, K, H cùng nằm trên đường trung trực của EG 
Vậy bốn điểm F, H, K, I thẳng hàng. 
0,5 
0,5 
0,25 
0,25