Đề thi chọn học sinh giỏi lớp 11 THPT năm học 2013 - 2014 môn: Toán

TRƯỜNG THPT B KIM BẢNG KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP 11 THPT
 ĐỀ THI ĐỀ XUẤT Năm học 2013-2014
Môn: Toán
 Thời gian: 180 phút (không kể thời gian giao đề)
Họ và tên: Trần Việt Hà 
Chức vụ: Giáo viên
Đơn vị : Trường THPT B Kim Bảng
Câu 1: (4 điểm) Tính tổng các nghiệm của phương trình sau trên 
Câu 2: (5 điểm) a) Tính tổng 
b) Xếp 10 người gồm 5 nam và 5 nữ vào hai hàng ghế kê đối diện nhau, mỗi bên 5 chiếc. Hỏi có bao nhiêu cách xếp để nam và nữ luôn ngồi đối diện nhau ?
Câu 3: (3 điểm) Cho dãy số thực xác định bởi
 và với mọi 
 Tìm số hạng tổng quát của dãy số ?
Câu 4: (3 điểm) Cho dãy ngũ giác lồi , xác định như sau:
Ngũ giác có diện tích 
Với mỗi ngũ giác được tạo thành bằng cách:
Từ trung điểm mỗi cạnh của ngũ giác ta nối với trung điểm 2 cạnh không kề nó. Ngũ giác có các đỉnh chính là trung điểm của 5 cạnh thẳng nhận được theo cách nối trên.
 Gọi là diện tích của ngũ giác . Tìm ?
Câu 5: (5 điểm) 
 Cho lăng trụ đứng OAB.O’A’B’ có các đáy là các tam giác vuông cân, OA=OB=a, . Gọi M, P lần lượt là trung điểm của OA, AA’
a) Tính diện tích thiết diện của lăng trụ cắt bởi mp() đi qua M và vuông góc với A’B
 b) Gọi là góc tạo bởi hai mp (OAB) và (MPB’). Tính 
 ĐÁP ÁN VÀ BIỂU ĐIỂM
Câu
Nội dung
Điểm
Câu1
 (4đ)
Câu 2
(5đ)
Câu 3
(3 đ)
Câu 4
(3 đ)
Điều kiện xác định: 
Kết hợp với điều kiện xác định ta có nghiệm của phương trình đã cho là
Vì
 Suy ra các nghiệm của phương trình đã cho trên là
 với gồm 2008 nghiệm lập thành cấp số cộng có công sai nên tổng các nghiệm là
0.5
1.0
1.0
 0.5
1.0
a) (3 điểm) Ta có
Do đó 
Mặt khác ta có 
Vậy 
b) (2 điểm) Không mất tính tổng quát và để dễ hình dung ta đánh số các ghế như sau:
1
2
3
4
5
10
9
8
7
6
 Có 10 cách chọn 1 trong 10 người để xếp vào ghế số 1. Sau khi đã chọn được 1 người để xếp vào ghế số 1 thì có 5 cách chọn người khác giới để xếp vào ghế số 10. 
Tương tự có 8 cách chọn 1 trong 8 người còn lại để xếp vào ghế số 2. Khi đó có 4 cách chọn người khác giới để xếp vào ghế số 9. Cứ tiếp tục quá trình như vậy, ta sẽ có 10.5.8.4.6.3.4.2.2 = 460 800 cách sắp xếp thỏa mãn đề bài.
Từ công thức truy hồi ta suy ra 
Thay n bằng n-1, n-2, ..., 2 ta được 
Cộng vế với vế các đẳng thức trên rồi giản ước các số hạng bằng nhau ở hai vế, ta được 
Từ đó suy ra 
An
K
Bn
Dn+1
En
Cn+1
En+1
N
Bn+1
M
An+1
Cn
Dn
Gọi G là trọng tâm của ngũ giác với kí hiệu thứ tự các đỉnh của ngũ giác như hình vẽ ta có
( Vì )
Tương tự ta có
Vậy ngũ giác là ảnh của ngũ giác qua phép vị tự tâm G tỉ số 
Do đó 
Như vậy diện tích các ngũ giác () lập thành cấp số nhân với công bội . Do đó 
Vậy 
1.0
1.0
0.5
0.5
1.0
1.0
0.5
0.5
1.0
1.0
0.5
0.5
0.5
1.0
0.5