Đề thi chọn học sinh giỏi lớp 10 năm học 2015- 2016 môn thi: Toán

SỞ GD & ĐT BèNH ĐỊNH
TRƯỜNG THPT TAM QUAN 
ĐỀ CHÍNH THỨC
KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP 10
 NĂM HỌC 2015- 2016
Mụn thi: TOÁN
Thời gian: 150 phỳt (khụng kể thời gian giao đề)
Cõu I: (1,5 điểm). So sỏnh cỏc số thực sau ( Khụng dựng mỏy tớnh gần đỳng).
 và 
Cõu II: (3,0 điểm). Cho 
 a) Rỳt gọn A. 
 b) Tỡm x nguyờn để A nguyờn.
Cõu III: (5,0 điểm). 
 1) Mỗi học sinh lớp 10A1 đều chơi búng đỏ hoặc búng chuyền. Biết rằng cú 25 bạn chơi búng đỏ, 20 bạn chơi búng chuyền và 10 bạn chơi cả hai mụn thể thao này. Hỏi lớp 10A1 cú bao nhiờu học sinh.
2) Cho cỏc nữa khoảng Đặt Với điều kiện nào của cỏc số thực a và b thỡ C là một đoạn? Tớnh độ dài của đoạn C khi đú .
3) Tỡm một tớnh chất đặc trưng cho cỏc phần tử của mỗi tập hợp sau:
 a) b) 
Cõu IV: (3,0 điểm). 
 1) Tỡm m để phương trỡnh cú bốn nghiệm phõn biệt.
 2) Giải hệ phương trình: 	
Cõu V: (4,0 điểm).
Cho tam giỏc ABC cú trung tuyến AM. Gọi I là trung điểm của AM và K là điểm trờn cạnh AC sao cho . Chứng minh ba điểm B, I ,K thẳng hàng.
Cho tứ giỏc ABCD. Cỏc điểm M, N, P và Q lần lượt là trung điểm của AB, BC, CD và DA. Chứng minh hai tam giỏc ANP và CMQ cú cựng trọng tõm.
Cõu VI: (3,5 điểm). Cho đường trũn tõm (O; R) đường kớnh AB và CD vuụng gúc với nhau. Trong đoạn AB lấy điểm M khỏc 0. Đường thẳng CM cắt đường trũn (O) tại điểm thứ hai N. Đường thẳng vuụng gúc với AB tại M cắt tiếp tuyến với đường trũn (O) tại N ở điểm P. Chứng minh rằng:
Cỏc điểm O, M, N, P cựng nằm trờn một đường trũn.
Tứ giỏc CMPO là hỡnh bỡnh hành.
CM.CN = 2R2 
---HẾT---
Họ và tờn thớ sinh: ........................................................ Số bỏo danh: ...................................
CÂU
NỘI DUNG ĐÁP ÁN
I.
(1,5đ)
Giả sử > 
 (BĐT đỳng)
II
(3,0 đ)
a) (1,5 đ) x2-7x+10=(x-5)(x-2). Điều kiện để A cú nghĩa là 
x ≠5và x ≠2
b) (1,5 đ) , với x nguyờn, A nguyờn khi và chỉ khi nguyờn, khi đú x-2=1 hoặc x-2 =-1 nghĩa là x=3, hoặc x=1.
III
(5,0đ)
1)(2 đ) Gọi A là tập hợp cỏc học sinh lớp 10A1 chơi búng đỏ
 B là tập hợp cỏc học sinh lớp 10A1 chơi búng chuyền. Vỡ mỗi bạn của lớp 10A1 đều chơi bong đỏ hoặc búng chuyền nờn là tập cỏc học sinh của lớp. Để đếm số phần tử của . Số phần tử của A là 25 Hs và của B là 20 hs. Nhưng khi đú cỏc phần tử thuộc được đếm hai lần( 10 lần).
Vậy số phần tử của là 25+20 -10 = 35. Lớp 10A1 cú 35 hs.
2) (2 đ) là một đoạn Û (*)
Khi đú, là đoạn cú độ dài 
3) (1 đ) a) 
 b) 
IV
(3,0đ) 
)
1) (1,5 đ) Ta cú: 
PT 
(1) cú 2 nghiệm phõn biệt với mọi m vỡ 
(2) cú 2 nghiệm phõn biệt Û và Û 
PT cú 4 nghiệm phõn biệt Û và 
Û và Û , kết luận
2) (1,5 đ) . Điều kiện để hệ có nghiệm là: (*)
Với điều kiện (*), ta có: 
(vì nên ).
Thay vào (a): 
vì .
So với điều kiện (*), ta có: .
Vậy hệ phương trình có nghiệm duy nhất : 
V
(4,0đ) 
1) (2,0 đ) Đặt .Ta cú
Từ (1) và (2) suy ra vậy hay 
Do đú ba điểm B, I, K thẳng hàng
2) (2,0 đ) Gọi G là trọng tõm tam giỏc ANP .Khi đú 
Ta cú
Vậy Suy ra G là trọng tõm tam giỏc CMQ
VI
(3,5đ) 
C
O
M
A
B
N
E
F
P
D
a) (1,5 đ) * Tam giỏc OMP vuụng tại M nờn O, M, P thuộc đường trũn đường kớnh OP.
 * Tam giỏc ONP vuụng tại N nờn O, N, P thuộc đường trũn đường kớnh OP.
* Vậy O, M, N, P cựng thuộc đường trũn đường kớnh OP.
b) (1,0 đ) MP//OC (vỡ cựng vuụng gúc với AB)
 (hai gúc đồng vị)
 (hai gúc đỏy của tam giỏc cõn ONC)
 (hai gúc nội tiếp cựng chắn cung NP)
Suy ra ; do đú, OP//MC.
Vậy tứ giỏc MCOP là hỡnh bỡnh hành.
c) (1,0 đ) 
Nờn hay CM.CN = OC.CD = 2R2