Đề thi chọn học sinh giỏi lớp 10 môn: Toán

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
HÀ NAM
ĐỀ CHÍNH THỨC
KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP 10 THPT
Năm học: 2014-2015
Môn: Toán
Thời gian: 180 phút, không kể thời gian giao đề
Câu 1 (5,0 điểm).
1. Cho parabol (P): và đường thẳng : ( là tham số). Tìm để (P) cắt tại hai điểm A, B phân biệt sao cho độ dài đoạn AB ngắn nhất. 
2. Cho phương trình (là tham số). Tìm điều kiện của để phương trình có 2 nghiệm phân biệt.
Câu 2 (5,0 điểm).
1. Giải phương trình 
2. Giải hệ phương trình 
Câu 3 (5,0 điểm).
1. Cho tam giác ABC có . Các điểm M, N lần lượt được xác định bởi . Tính độ dài cạnh AC biết AM và CN vuông góc với nhau.
2. Cho tam giác ABC. Trên các cạnh BC, CA, AB lần lượt lấy các điểm A’, B’, C’. Gọi tương ứng là trọng tâm các tam giác AB’C’, BC’A’, CA’B’. Gọi lần lượt là diện tích của các tam giác G1B’C’, G2C’A’, G3A’B’, ABC. Chứng minh rằng:
 .
Đẳng thức xảy ra khi nào?
Câu 4 (3,0 điểm).
Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho điểm A(-1; 1) và hai đường thẳng có phương trình lần lượt là: . Viết phương trình đường thẳng đi qua A và cắt 2 đường thẳng tương ứng tại B và C sao cho AC = 3BC. 
Câu 5 (2,0 điểm). 
 Cho là độ dài 3 cạnh của một tam giác có chu vi bằng 3. Chứng minh rằng:
.
 Đẳng thức xảy ra khi nào?
Hết
Họ và tên thí sinh. Số báo danh......
Người coi thi số 1.Người coi thi số 2..........