Đề thi chọn học sinh giỏi khối lớp 12 THPT giải toán trên máy tính cầm tay

 SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP 12 THPT
 THANH HÓA GIẢI TOÁN TRÊN MÁY TÍNH CẦM TAY NĂM HỌC 2016 – 2017
 Thời gian làm bài: 150 phút
ĐÁP ÁN ĐỀ CHÍNH THỨC MÔN TOÁN
Chú ý: 1) Kết quả tính chính xác đến 5 chữ số thập phân (trừ kết quả bài 1)
 2) Thí sinh ghi kết quả vào ô trống bên phải, riêng đối với các bài từ bài 5 – 10 có thêm phần tóm tắt lời giải;
 3) Nếu thí sinh làm tròn sai chữ số cuối, hoặc lấy kết quả gần đúng không đủ 5 chữ số thập phân, hoặc nếu kết quả " = ’’ mà ghi "’’ hoặc ngược lại sẽ trừ 0,25 điểm.
 4) Đáp án gồm 6 trang.
Đề bài
Kết quả
Điểm
Bài 1: (2 điểm). 
 Tìm các nghiệm gần đúng (độ, phút, giây) của phương trình: 
.
Với .
1,0
1,0
Bài 2: (2 điểm). 
 Tìm tất cả các nghiệm thực gần đúng của phương trình:
.
1,0
1,0
Bài 3: (2 điểm). 
 Tính gần đúng khoảng cách d giữa hai điểm cực đại và cực tiểu của đồ thị hàm số:
2,0
Bài 4: (2 điểm). 
 Trong mặt phẳng với hệ trục toạ độ Oxy, cho đường tròn (C): . Tìm giá trị gần đúng hai số a, b để đường thẳng qua điểm và cắt (C) tại hai điểm phân biệt A, B sao cho . 
hay ;
 . 
1,0
1,0
Bài 5: (2 điểm). Cho dãy số xác định bởi: 
 Viết quy trình bấm phím để tính và ( Với là tổng n số hạng đầu tiên của dãy số). Sử dụng quy trình tính , .
Lời giải tóm tắt bài 5
Kết quả
Điểm
Quy trình bấm phím như sau:
1 SHIFT STO A
2 SHIFT STO B
2 SHIFT STO C
1+2 SHIFT STO D
ALPHA C ALPHA =ALPHA C + 1 ALPHA :
ALPHA A ALPHA = ALPHA B + ALPHA A ALPHA :
ALPHA D ALPHA = ALPHA D + ALPHA A ALPHA :
ALPHA C ALPHA =ALPHA C + 1 ALPHA :
ALPHA B ALPHA = ALPHA A + ALPHA B ALPHA :
ALPHA D ALPHA = ALPHA D + ALPHA B 
Bấm phím CALC và “ = ” đến khi gặp C=10 có và .
Quy trình bấm phím đúng.
1,0
0,5
0,5
Bài 6: (2 điểm). Cho khối hộp ABCD.A’B’C’D’ có đáy là hình chữ nhật với AB=a, AD=b. Hai mặt (ABB’A’) và (ADD’A’) lần lượt tạo với đáy góc 450 và 600. Hãy tính thể tích khối hộp ABCD.A’B’C’D’ biết độ dài AA’=10 và . 
Lời giải tóm tắt bài 6
Kết quả
Điểm
Gọi H là hình chiếu của A’ lên mặt phẳng (ABCD), K, M lần lượt là hình chiếu của H lên AB và AD. Theo định lý ba đường vuông góc, ta có 
Đặt . Khi đó .
Mà . Suy ra 
Vậy 
 hay (đvtt).
(đvtt)
1,0
1,0
Bài 7: (2 điểm). Giải hệ phương trình: 
Lời giải tóm tắt bài 7
Kết quả
Điểm
Giải hệ phương trình: 
Điều kiện: 
*) Ta có không là nghiệm của hệ.
*) Xét khi đó: 
Phương trình (1) :
+) Với thế vào phương trình (2) ta có:
Đối chiếu điều kiện 
Suy ra hệ có hai nghiệm 
 .
+) Ta chứng minh vế trái (3) luôn dương:
Từ (2) ta chứng minh Với . 
 Với . 
Vậy hệ có đúng hai nghiệm: 
0,5
0,5
0,5
0,5
Bài 8: (2 điểm). Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình bình hành. Gọi K là trung điểm của SC. Mặt phẳng qua AK cắt các cạnh bên SB, SD lần lượt tại hai điểm M, N (M và N đều 
khác S). Khối chóp S.ABCD có thể tích dm3. 
	a) Tính thể tích khối chóp S.AMKN , biết . 
	b) Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất thể tích khối chóp S.AMKN.
Lời giải tóm tắt bài 8
Kết quả
Điểm
Đặt: ; 
Ta có: .
Tính tỉ số theo hai cách:
.
.
Từ (2) và (3) suy ra: 
a) Theo đề ra thay vào (4) ta có 
suy ra (dm3).
b) Từ (4) kết hợp với (1) ta có 
Ta thay vào (2) suy ra .
Xét hàm số trên .
Ta có .
 .
Giá trị lớn nhất:
Giá trị nhỏ nhất:
0,5
0,5
0,5
0,5
Bài 9: (2 điểm). 
	a) Một hộp chứa 12 viên bi khác nhau gồm 6 viên bi trắng, 4 viên bi đen và 2 viên bi đỏ. Lấy ngẫu nhiên 6 viên bi, tính xác suất để 6 viên bi lấy ra có đủ ba màu.
	b) Một số tự nhiên được gọi là số thú vị nếu số này có 8 chữ số đôi một khác nhau được thành lập từ tập và số đó chia hết 1111. Hỏi có bao nhiêu số thú vị như thế.
Lời giải tóm tắt bài 9
Kết quả
Điểm
a) Số phần tử của không gian mẫu là .
Gọi A là biến số: “6 viên bi lấy ra đủ ba màu” .
Nên .
Vậy 
b) Giả sử là một số thú vị.
Ta có tổng các chữ số m là 1+2++8=36 chia hết cho 9 nên m chia hết cho 9. Do 9 và 1111 có ước chung lớn nhất là 1 nên m chia hết cho 9999.
Đặt: ,
Ta có: chia hết cho 9999 từ đó suy ra chia hết cho 9999.
Mà: 
Do đó: 
Từ các chữ số 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 có 4 cặp (1;8), (2;7), (3;6), (4;5). Nên 8 cách chọn ; 6 cách chọn ; 4 cách chọn ; 2 cách chọn . (Chọn có luôn ). 
Vậy số các số thú vị là: 8.6.4.2=384 (số).
Đáp số=384
0,5
0,5
0,5
0,5
Bài 10: (2 điểm). Cho ba số thực không âm thỏa mãn điều kiện . Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức: . 
Lời giải tóm tắt bài 10
Kết quả
Điểm
Do tính đối xứng của ta giả sử .
Phân tích: 
Với :  ;
 .
*) Tìm giá trị lớn nhất của M : 
Vì 
Áp dụng bất đẳng thức côsi ta có:
Đẳng thức xảy ra khi : 
Giá trị lớn nhất của M bằng .
*) Tìm giá trị lớn nhất của N :
Áp dụng Côsi ta có :
Dấu đẳng thức xảy ra khi : 
hệ này thỏa mãn.
Giá trị lớn nhất của N bằng .
Vậy giá trị lớn nhất 
Dấu ‘‘=’’ khi là các hoán vị của 
Giá trị lớn nhất
0,75
0,5
0,75
------------------------------------Hết---------------------------------