Đề thi chọn học sinh giỏi khối 8 môn Toán - Trường Hoàng Hoa Thám - Quận Tân Bình

CÔNG TY CỔ PHẦN GIÁO DỤC THĂNG TIẾN THĂNG LONG 
Ñeà Thi Choïn HSG, Khoái 8 Trường Hoaøng Hoa Thaùm (2013-2014) Trang 1 
TRÖÔØNG HOAØNG HOA THAÙM - QUAÄN TAÂN BÌNH 
Ngaøy thi: 13/4/2014 
Thôøi gian: 90 Phuùt 
Caâu 1: Giaûi phöông trình 
1) 
2 2 2
1 1 1
18
x 9x 20 x 11x 30 x 13x 42
  
     
2) 2x 3 1 x   
Caâu 2: Cho bieåu thöùc: 
2
3 2
a 4a 4
A
a 2a 4a 8
 

  
1) Tìm ñieàu kieän vaø ruùt goïn bieåu thöùc A 
2) Tìm caùc soá nguyeân a ñeå bieåu thöùc A coù giaù trò nguyeân. 
Caâu 3: Vôùi a, b, c laø soá döông 
1) Chöùng minh: 
ab bc ca
a b c
c a b
     
2) Chöùng minh: 
a b c 3
b c c a a b 2
  
  
Caâu 4: Tìm nghieäm nguyeân döông (x, y, z) bieát: 
2 2 2
x y z xy 3y 2z 4      
Caâu 5: Cho tam giaùc ABC coù phaân giaùc AD ñöôøng cao AH. Veõ DI AB taïi I. 
a) Chöùng minh raèng: 
DI BC
AH AB AC


b) Treân AD laáy M, N sao cho MBA NBD . Chöùng minh: 
2
MA NA AB
MD ND BD
 
   
 
c) Chöùng minh: MCA NCD 
Caâu 6: 
1) Cho tam giaùc ABC coù ñöôøng cao AH. Treân AB, AC laàn löôït laáy ñieåm E, F sao cho HA laø 
tia phaân giaùc cuûa goùc EHF. 
Chöùng minh: AH, BF, CE ñoàng quy 
2) Cho hình bình haønh ABCD. Treân AB, AD laáy 2 ñieåm M, N baát kyø. Veõ hình bình haønh 
AMPN. Goïi Q laø giao ñieåm cuûa BN, MD. Chöùng minh raèng: C, P, Q thaúng haøng 
 
HEÁT 
ĐỀ THI CHOÏN HOÏC SINH GIOÛI KHOÁI 8 
CÔNG TY CỔ PHẦN GIÁO DỤC THĂNG TIẾN THĂNG LONG 
Ñeà Thi Choïn HSG, Khoái 8 Trường Hoaøng Hoa Thaùm (2013-2014) Trang 2 
HƯỚNG DẪN GIAÛI 
Caâu 1: 
1) 
2 2 2
1 1 1
18
x 9x 20 x 11x 30 x 13x 42
  
     
        
1 1 1
18
x 4 x 5 x 5 x 6 x 6 x 7
   
     
ÑK: 
x 4
x 5
x 6
x 7
  

 

 
  
Vôùi ñieàu kieän treân phöông trình trôû thaønh: 
1 1 1 1 1 1
18
x 4 x 5 x 5 x 6 x 6 x 7
     
     
1 1
18
x 4 x 7
  
 
  
  
  
18 x 4 x 7x 7 x 4
x 4 x 7 x 4 x 7
   
 
   
  3 18 x 4 x 7     26 x 11x 28 1    
2
6x 66x 167 0    2
167
x 11x 0
6
    
2
11 29
x 0
2 12
 
    
 
11 29
x
2 12
11 29
x
2 12

  


   

2) 2x 3 1 x   2x 3 x 1    
TH1: 
3
2x 3 0 x
2
    
Khi ñoù phöông trình trôû thaønh: 
2x 3 x 1 x 2     
TH2: 
3
2x 3 0 x
2
    
Khi ñoù phöông trình trôû thaønh: 
4
2x 3 x 1 3x 4 x
3
        
Vaäy 
4
S 2;
3
 
  
 
Caâu 2: 
a) 
2
3 2
a 4a 4
A
a 2a 4a 8
 

  
CÔNG TY CỔ PHẦN GIÁO DỤC THĂNG TIẾN THĂNG LONG 
Ñeà Thi Choïn HSG, Khoái 8 Trường Hoaøng Hoa Thaùm (2013-2014) Trang 3 
 
   
2
2
a 2
A
a a 2 4 a 2

 
  
 
   
2
2
a 2
A
a 2 a 2

 
 
ÑK: 
a 2
a 2
 

 
Voùi ñieàu kieän treân phöông trình trôû thaønh: 
 
1
A
a 2


Ñeå A coù giaù trò nguyeân thì:  1 a 2 
     a 2 Ö 1 a 2 1; 1 a 3;1         
Vaäy  a 3;1 thì bieåu thöùc a coù giaù trò nguyeân. 
Caâu 3: 
1) AÙp duïng baát ñaúng thöùc Coâ- si ta coù: 
ab bc ab bc
2 . 2b
c a c a
ab ac ab ac
2 . 2a
c b c b
ac bc ac bc
2 . 2c
b a b a

  


  


  

 
ab bc ca
2 2 a b c
c a b
 
      
 
ab bc ca
a b c (ñpcm)
c a b
      
b) 
a b c 3
b c c a a b 2
  
  
Caùch 1: Ñaët  
x b c
y c a x y z 2 a b c
z a b
  

       
  
 x y z 2 a x    
x y z
a
2
  
  
Chöùng minh töông töï ta ñöôïc: 
x y z
b
2
 
 ;
x y z
c
2
 
 
Baát ñaúng thöùc caàn chöùng minh trôû thaønh: 
x y z x y z x y z 3 x y z x y z x y z
3
2x 2y 2z 2 x y z
             
       
y z x z x y x y y z z x
1 1 1 3 6
x x y y z z y x z y x z
     
                      
     
AÙp duïng baát ñaúng thöùc Coâ- si ta coù: 
CÔNG TY CỔ PHẦN GIÁO DỤC THĂNG TIẾN THĂNG LONG 
Ñeà Thi Choïn HSG, Khoái 8 Trường Hoaøng Hoa Thaùm (2013-2014) Trang 4 
x y
2
y x
y z x y y z z x
2 6
z y y x z y x z
z x
2
x z

 

      
              
     

 

Vaäy baát ñaúng thöùc ñöôïc chöùng minh. 
Caùch 2: 
Ta coù: 
a b c 3 a b c 9
1 1 1
b c c a a b 2 b c c a a b 2
         
     
 
a b c a b c a b c 9 1 1 1
2 a b c 9
b c c a a b 2 b c c a a b
      
          
      
AÙp duïng baát ñaúng thöùc  
1 1 1
x y z 9
x y z
 
     
 
; x,y,z > 0 , ta coù: 
       
1 1 1 1 1 1
a b b c c a 9 2 a b c 9
a b b c c a b c c a a b
   
                           
Vaäy baát ñaúng thöùc ñöôïc chöùng minh. 
Caâu 4: Tìm nghieäm nguyeân döông (x, y, z) bieát: 
2 2 2
x y z xy 3y 2z 4      
Ta coù: 
2 2 2 2 2 2
x y z xy 3y 2z 4 4x 4y 4z 4xy 12y 8z 16             
     2 2 2 24x 4xy y 3y 12y 12 4z 8z 4 0          
     
2 2 2
2x y 3 y 2 4 z 1 0       
2x y 0 x 1
y 2 0 y 2
z 1 0 z 1
   
 
     
    
 . Vaäy (x, y, z) = (1, 2, 1) 
Caâu 5: Cho tam giaùc ABC coù phaân giaùc AD, ñöôøng cao AH. Veõ DI AB taïi I. 
I
H D
A
B C
CÔNG TY CỔ PHẦN GIÁO DỤC THĂNG TIẾN THĂNG LONG 
Ñeà Thi Choïn HSG, Khoái 8 Trường Hoaøng Hoa Thaùm (2013-2014) Trang 5 
a) Chöùng minh raèng: 
DI BC
AH AB AC


BID BHA ∽  
DI BD
1
AH AB
  
Xeùt ABC , ta coù: AD laø ñöôøng phaân giaùc.  
BD DC
2
AB AC
  
Töø (1) vaø (2) ta suy ra: 
DI BD DC BD DC BC
AH AB AC AB AC AB AC

   
 
b) Treân AD laáy M, N sao cho MBA NBD . Chöùng minh: 
2
MA NA AB
MD ND BD
 
   
 
N2
M2
M1
N1
B
A
D
M N
 1
1 2
2
MM BM
BMM N 1
N N BN
   ∽ BN 
2 1
BM M BN N ∽  2
1
M M BM
2
N N BN
  
Töø (1) vaø (2) ta suy ra: 
1 2
1 1 2 2
2 1
MM M M
MM .N N M M.N N
N N N N
   
Ta coù : 
BAM 1
BND 2
BAN 1
BMD 1
S MM .ABMA
S ND NN .BD
S NN .ABNA
S MD MM .BD

 


  


2
1 1
2
2 2
MM .NN .ABMA.NA
ND.MD MM .NN .BD
  . Maø 
1 1 2 2
MM .NN MM .NN 
Neân 
2
MA NA AB
MD ND BD
 
   
 
c) Chöùng minh: MCA NCD 
CÔNG TY CỔ PHẦN GIÁO DỤC THĂNG TIẾN THĂNG LONG 
Ñeà Thi Choïn HSG, Khoái 8 Trường Hoaøng Hoa Thaùm (2013-2014) Trang 6 
Q
P
FK
E
S
I
D
A
B C
M
N
Veõ MS,NE AC taïi H vaø E. 
Veõ MK,NF CD taïi K vaø F 
MK caét AC taïi P, NE caét CD taïi Q. 
ABC coù AD laø ñöôøng phaân giaùc (gt) 
AB AC
BD CD
  (tính chaát ñöôøng phaân giaùc) 
Maø 
2
MA NA AB
MD ND BD
 
   
 
. Neân 
2
MA NA AC
MD ND CD
 
   
 
 (1) 
Ta coù : 
 MAC
MDC
MAC
MDC
SMA
MAC; MDC coù chung ñöôøng cao veõ töø C ñeán AD
MD S
S AC.MS
S CD.MK

  


 


MA AC.MS
MD CD.MK
  (2) 
Cmtt, ta ñöôïc : 
NA AC.NE
ND CD.NF
 (3) 
Töø (2) vaø (3) ta suy ra :  
2
MA NA AC MS NE
4
MD ND CD MK NF
 
    
 
Töø (1) vaø (4) ta suy ra : 
MS NE
1
MK NF
  
MS MK
MS.NE MK.NF
NF NE
    
Maø SMK FNE (vì cuøng buø vôùi ACD) 
Neân  MSK NFE c g c   ∽ 
 
PS PM PC PM
PHM PKC g g
PK PC PK PS
      ∽ . Maø CPM KPS . 
Neân  PCM PKS c g c   ∽ 
Cmtt, ta ñöôïc : QCN QEF ∽ 
CÔNG TY CỔ PHẦN GIÁO DỤC THĂNG TIẾN THĂNG LONG 
Ñeà Thi Choïn HSG, Khoái 8 Trường Hoaøng Hoa Thaùm (2013-2014) Trang 7 
Ta coù : 
 
 
 
MCA SKM PCM PKS
SKM FEN MSK NFE MCA NCD
FEN NCD QEF QCN
   


    

  

∽
∽
∽
Caâu 6: 
1) Cho tam giaùc ABC coù ñöôøng cao AH. Treân AB, AC laàn löôït laáy ñieåm E, F sao cho HA laø tia 
phaân giaùc cuûa goùc EHF. 
E'
N
M
K
H
I
F
H
A
B C
E
Chöùng minh: AH, BF, CE ñoàng quy 
Goïi I laø giao ñieåm cuûa AH va ø BF, CI caét AB taïi E’. Ta ñi chöùng minh E truøng E’ 
Qua I veõ ñöôøng thaúng song song vôùi BC caét AB, E’H, FH, AC laàn löôït taïi H, M, N, K. 
AÙp duïng heä quaû ñònh lyù Thales vaøo E'HC, E'BC  , ta ñöôïc:  
MI HI HI.HC
MI 1
HC BC BC
   
Cmtt, ta ñöôïc:  
IK.AB
IN 2
BC
 
Maët khaùc:  
HI IK AI
HI.HC IK.HB 3
BH CH AH
 
    
 
Töø (1), (2), (3) MI IN   I laø trung ñieåm cuûa MN. 
HMN coù HI laø ñöôøng trung tuyeán cuõng laø ñöôøng cao. HMN caân taïi H neân HI cuõng laø 
ñöôøng phaân giaùc. E'HI FHI EHI   
 Tia HE’ truøng tia HE E E'  (Vì E, E’ thuoäc AB) 
2) Cho hình bình haønh ABCD. Treân AB, AD laáy 2 ñieåm M, N baát kyø. Veõ hình bình haønh 
AMPN. Goïi Q laø giao ñieåm cuûa BN, MD. Chöùng minh raèng: C, P, Q thaúng haøng 
CÔNG TY CỔ PHẦN GIÁO DỤC THĂNG TIẾN THĂNG LONG 
Ñeà Thi Choïn HSG, Khoái 8 Trường Hoaøng Hoa Thaùm (2013-2014) Trang 8 
P'
E
Q
I
P
C
A
D
B
M
N
BN caét MP taïi E vaø caét tia CD taïi I. 
Deã thaáy: 
NQ DQ QI
QE QM QB
   
NQ QE
1
QI QB
  
Qua N veõ ñöôøng thaúng song song vôùi DC caét QC taïi P’ 
 
QN QP'
2
QI QC
  
Töø (1) vaø (2) ta suy ra 
QE QP'
QB QC
  P’E // BC. Maø EM // BC. Neân P’, E, M thaúng haøng. 
 MP’ // AN. Laïi coù: NP’ // AM (NP’ // CD // AB) 
Töù giaùc ANP’M laø hình bình haønh. P P' ñpcm   
 
HEÁT