Đề thi chọn học sinh giỏi khối 12 THPT giải toán trên máy tính cầm tay

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO KÌ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP 12 THPT 
 THANH HÓA “GIẢI TOÁN TRÊN MÁY TÍNH CẦM TAY”NĂM HỌC.. 
 Thời gian làm bài: 150 phút 
ĐỀ CHÍNH THỨC MÔN TOÁN 
 Điểm của bài thi
 Các giám khảo
 ( Họ và tên, chữ ký)
 Số phách
Bằng số:
1.
Bằng chữ:
2.
 Chú ý: 1) Kết quả tính chính xác đến 5 chữ số thập phân (trừ kết quả bài 1)
 2) Thí sinh ghi kết quả vào ô trống bên phải, đối với các bài từ bài 6 -10 có thêm phần tóm tắt lời giải.
 3)Thí sinh không được có thêm ký hiệu nào khác trong bài làm.
 Đề bài
 Kết quả
Bài 1: (2 điểm) 
Tìm gần đúng các nghiệm (độ, phút, giây) của phương trình:
 sinxcosx+3sinx+cosx=2
Bài 2: (2 điểm)
Cho tam giác ABC có chu vi bằng 58 cm, các góc B=57018/ và C=82035/. Tính gần đúng độ dài cạnh BC.
Bài 3: (2 điểm)
Giải hệ phương trình: x+log3y=32y2-y+12.3x=57y
Bài 4: (2 điểm)
Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy cho điểm A(-1;3); B(1;1) và đường thẳng (d) có phương trình: y=2x. Tính gần đúng tọa độ điểm C trên đường thẳng (d) để tam giác ABC cân tại B .
Bài 5: (2 điểm)
Tìm gần đúng giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số :
 y=-x2+4x-3+5-2x 
Bài 6: (2 điểm) An làm bài kiểm tra trắc nghiệm môn Vật lí, đề kiểm tra gồm 40 câu. Mỗi câu có 4 phương án trả lời, trong đó chỉ một phương án đúng. Trả lời đúng mỗi câu được 0,25 điểm. An đã làm được 30 câu trong đó đúng 24 câu. Ở 10 câu còn lại mỗi câu An chọn ngẫu nhiên một phương án trả lời. Tính xác suất để An đạt 8 điểm trở lên. 
 Lời giải tóm tắt bài 6
 Kết quả
Bài 7: (2 điểm) Cho hàm số y=x-1x+1 ( C ). Tìm gần đúng hoành độ điểm M trên ( C ) sao cho tổng khoảng cách từ M đến hai trục tọa độ nhỏ nhất.
 Lời giải tóm tắt bài 7
 Kết quả
Bài 8: (2 điểm) Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác ABC vuông cân tại B, BA=BC=2a, hình chiếu vuông góc của S trên mặt phẳng đáy (ABC) là trung điểm E của AB và SE=2a.Gọi I,J lần lượt là trung điểm của EC,SC. Trên tia đối của tia BA lấy một điểm M. Gọi H là hình chiếu vuông góc của S trên MC. Tính gần đúng giá trị lớn nhất thể tích khối tứ diện EHIJ với a=5,14233cm.
 Lời giải tóm tắt bài 8
 Kết quả
Bài 9: (2 điểm) Cho dãy (un) xác định bởi:u1=1;u2=3un+1=5un+3un-1-2n 
Lập qui trình bấm phím tính un và tổng Sn ( tổng n số hạng đầu tiên của dãy).
Tính u8 và S10.
 Lời giải tóm tắt bài 9
 Kết quả
Bài 10: (2 điểm) Cho a,b,c>0 và a+b+c=32 . Tính gần đúng giá trị lớn nhất của biểu thức: P=29b3-a3ab+6b2+29c3-b3bc+6c2+29a3-c3ca+6a2 
 Lời giải tóm tắt bài 10
 Kết quả 
 SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO KÌ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP 12 THPT 
 THANH HÓA “GIẢI TOÁN TRÊN MÁY TÍNH CẦM TAY”NĂM HỌC.. 
 Thời gian làm bài: 150 phút 
ĐÁP ÁN CHÍNH THỨC MÔN TOÁN 
 Điểm của bài thi
 Các giám khảo
 ( Họ và tên, chữ ký)
 Số phách
Bằng số:
1.
Bằng chữ:
2.
 Chú ý: 1) Kết quả tính chính xác đến 5 chữ số thập phân (trừ kết quả bài 1)
 2) Thí sinh ghi kết quả vào ô trống bên phải, đối với các bài từ bài 6 -10 có thêm phần tóm tắt lời giải.
 3)Thí sinh không được có thêm ký hiệu nào khác trong bài làm.
 Đề bài
 Kết quả
Bài 1: (2 điểm) 
Tìm gần đúng các nghiệm (độ, phút, giây) của phương trình:
 sinxcosx+3sinx+cosx=2
x≈-13022’12’’+k3600
x≈103022’12’’+k3600
Bài 2: (2 điểm)
Cho tam giác ABC có chu vi bằng 58 cm, các góc B=57018/ và C=82035/. Tính gần đúng độ dài cạnh BC.
BC≈15,08465cm
Bài 3: (2 điểm)
Giải hệ phương trình: x+log3y=32y2-y+12.3x=57y
x≈1,25183y≈6,82475
Bài 4: (2 điểm)
Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy cho điểm A(-1;3); B(1;1) và đường thẳng (d) có phương trình: y=2x. Tính gần đúng tọa độ điểm C trên đường thẳng (d) để tam giác ABC cân tại B .
C1x1≈1,84900y1≈3,69800
C2x2≈-0,64900y2≈-1,29800
Bài 5: (2 điểm)
Tìm gần đúng giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số :
 y=-x2+4x-3+5-2x 
Maxfx≈2,28454
Minf(x)≈0,86603
Bài 6: (2 điểm) An làm bài kiểm tra trắc nghiệm môn Vật lí, đề kiểm tra gồm 40 câu. Mỗi câu có 4 phương án trả lời, trong đó chỉ một phương án đúng. Trả lời đúng mỗi câu được 0,25 điểm. An đã làm được 30 câu trong đó đúng 24 câu. Ở 10 câu còn lại mỗi câu An chọn ngẫu nhiên một phương án trả lời. Tính xác suất để An đạt 8 điểm trở lên. 
 Lời giải tóm tắt bài 6
 Kết quả
 Vì An đã làm đúng 24 câu, tương ứng 6 điểm nên để dạt được số điểm là 8 trở lên An cần phải đạt ít nhất 2 điểm nữa.Tức An cần phải làm đúng ít nhất 8 câu trong 10 câu còn lại. Số cách để trả lời 10 câu còn lại là 410. Gọi A là biến cố: An trả lời đúng ít nhất 8 câu trong 10 câu còn lại.
Gọi Ai là biến cố: An trả lời đúng i câu trong 10 câu còn lại (iϵ8;9;10).
Số cách chọn đúng i câu là C10i .Số cách trả lời đúng là 1, sai là 3.Lại do các Ai đôi một xung khắc ,theo qui tắc nhân thì số kết quả thuận lợi cho biến cố A là: C108.32+C109.31+C1010.30=436.
Vậy xác suất cần tính là:
 P=436410≈0,00042 
+ Lời giải đúng 1 điểm.
+ P≈0,00042
Bài 7: (2 điểm) Cho hàm số y=x-1x+1 ( C ). Tìm gần đúng hoành độ điểm M trên ( C ) sao cho tổng khoảng cách từ M đến hai trục tọa độ nhỏ nhất.
 Lời giải tóm tắt bài 7
 Kết quả
Gọi M(x;y) là điểm trên ( C ). Tổng khoảng cách từ M đến 2 trục tọa độ là : d(M)= x+y . Vì M0(0 ; -1) thuộc ( C ) và d(M0)=1 nên chỉ cần xét các điểm M(x;y) mà : x<1y=x-1x+1<1(*)
Từ hệ (*) suy ra : 0<x<1.
Với 0<x<1 thì y=x-1x+1<0 nên:
 d(M)=x-x-1x+1=x+1+2x+1-2≥22-2
Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi: 
 0<x<1x+1=2x+1(**)
Giải (**) ta có: 
 x=2-1≈0,41421
+ Lời giải đúng 1 điểm
+ x≈0,41421
Bài 8: (2 điểm) Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác ABC vuông cân tại B, BA=BC=2a, hình chiếu vuông góc của S trên mặt phẳng đáy (ABC) là trung điểm E của AB và SE=2a.Gọi I,J lần lượt là trung điểm của EC,SC. Trên tia đối của tia BA lấy một điểm M. Gọi H là hình chiếu vuông góc của S trên MC. Tính gần đúng giá trị lớn nhất thể tích khối tứ diện EHIJ với a=5,14233cm.
 Lời giải tóm tắt bài 8
 Kết quả
Đặt MCE = α
Ta có EC=BE2+BC2 = a5
Theo định lý ba đường vuông góc ta có 
EH vuông góc HC suy ra
EH = EC sin α = a5 sin α
EI = 12EC = a52
Diện tích tam giác HEI: 
SHEI = 12HE.EIsinHEI
 = 18 5a2sin2α
IJ = 12SE=a
Suy ra VJHEI = 13 IJ. SHEI
= 5a324sin2α
VJHEI đạt giá trị lớn nhất khi sin 2 α=1 hay 
Max VJHEI = 5a324≈28,32948cm3
+ lời giải đúng 1 điểm
Max VJHEI = 5a324≈28,32948cm3
Bài 9: (2 điểm)
Cho dãy (un) xác định bởi:u1=1;u2=3un+1=5un+3un-1-2n 
Lập qui trình bấm phím tính un và tổng Sn ( tổng n số hạng đầu tiên của dãy).
Tính u8 và S10.
 Lời giải tóm tắt bài 9
 Kết quả
Qui trình bấm phím trên máy 570MS:
SHIFT STO X
SHIFT STO A
SHIFT STO B
SHIFT STO C
ALPHA X ALPHA = ALPHA X + 1 ALPHA :
ALPHA A ALPHA = 5 ALPHA B + 3 ALPHA A – 2(ALPHA X – 1) ALPHA : ALPHA C ALPHA = ALPHA C + ALPHA A ALPHA : ALPHA X ALPHA = ALPHA X + 1 ALPHA : ALPHA B ALPHA = 5 ALPHA A + 3 ALPHA B – 2(ALPHA X – 1) ALPHA : ALPHA C ALPHA = ALPHA C + ALPHA B
Sau đó ấn « = » liên tiếp với X là chỉ số của u 
U8= 67623
S10=2533657 
+ lời giải đúng 1 điểm
+ U8= 67623
 S10=2533657
Bài 10: (2 điểm) Cho a,b,c>0 và +b+c=32 . Tính gần đúng giá trị lớn nhất của biểu thức:
 P=29b3-a3ab+6b2+29c3-b3bc+6c2+29a3-c3ca+6a2 
 Lời giải tóm tắt bài 10
 Kết quả 
Ta có:a3+b3=a+b(a2-ab+b2), mà a2+b2≥2ab nên a3+b3 ≥ ab(a+b).
Do đó 29b3-a3=30b3-a3+b3≤30b3-aba+b=ab+6b25b-a.
Vì a > 0, b > 0 nên 29b3-a3ab+6b2≤5b-a
Tương tự ta cũng có
29c3-b3bc+6c2≤5c-b(2)
29a3-c3ca+6a2≤5a-c(3)
Cộng theo vế các BĐT (1), (2), (3) ta được P≤4a+b+c=23. Max P=23 khi và chỉ khi a=b=c=36
Vậy giá trị lớn nhất của P là 23 ≈3,46410.
+ Lời giải đúng 1 điểm
+ maxP =23 ≈3,46410