Đề thi chọn học sinh giỏi huyện năm học 2012- 2013 môn: Toán lớp 9

PHềNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO YấN THÀNH
ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI HUYỆN NĂM HỌC 2012- 2013
Mụn : Toỏn – Lớp 9. (Thời gian làm bài 120 phỳt)
Cõu 1. Cho biểu thức: 
a, Rỳt gọn biểu thức P.
b, Tỡm cỏc giỏ trị của x để .
Cõu 2.
 Giải cỏc phương trỡnh sau: 
a, 
b, 
Cõu 3.
a, Chứng minh rằng với < 1, < 1 thỡ 
b, Cho cỏc số thực a, b, c > 0 thoả món 
	Chứng minh rằng : 
Cõu 4.
	Cho đường trũn tõm O, bỏn kớnh R khụng đổi, AB và CD là hai đường kớnh bất kỳ của (O). Đường thẳng vuụng gúc với AB tại A cắt cỏc đường thẳng BC, BD lần lượt tại M và N. Gọi P, Q lần lượt là trung điểm của AM và AN, H là trực tõm của tam giỏc BPQ.
Chứng minh tam giỏc APH và ABQ đồng dạng.
Chứng minh AH = .
Cõu 5.
	Cho điểm M nằm trong gúc nhọn xOy. Hai điểm A và B lần lượt thay đổi trờn Ox và Oy sao cho 2.OA = 3.OB. Tỡm vị trớ của A, B sao cho 2.MA + 3.MB đạt giỏ trị nhỏ nhất.
--------------------Hết-------------------
Cỏn bộ coi thi khụng giải thớch gỡ thờm
HƯỚNG DẪN CHẤM đề thi chọn học sinh giỏi lớp 9 
năm học 2012 - 2013 - mễN TOÁN
Cõu
í
Nội dung
B. Điểm
1
5.0
a
3.0
Điều kiện xỏc định: 
 Rỳt gọn 
1.0
1.0
1.0
b
2.0
Ta cú 
Kết hợp với điều kiện ta cú là cỏc giỏ trị cần tỡm.
1.5
0.5
2
4.0
a
2.0
ĐKXĐ 
Phương trỡnh : 
 thoả món
0.5
1.0
0.5
b
2.0
ĐK: - 3 < x < 1.Ta cú: 
Mặt khỏc, VP = 3 - 2x - x2 = 4 - (x + 1)2 
Từ đú để VT = VP khi và chỉ khi hai vế cựng bằng 4
dấu bằng xảy ra khi x = -1.
0.75
0.75
0.5
3
4.0
a
2.0
Để chứng minh ta cần chứng minh (a + b)2 < (1 + ab)2
Xột hiệu (1 + ab)2 - (a + b)2 = 1 + 2ab + a2b2 - a2 - 2ab - b2 = (1 - a2)(1 - b2)
Do 0
Vậy (a + b)2 < (1 + ab)2 hay 
0.5
0.5
0.5
0.5
b
2.0
Từ ( a + b - c)2 = a2 + b2 + c2 + 2ab – 2bc – 2ac 0
Nờn ac + bc – ab = < 1( Vỡ )
Chia cả hai vế cho abc > 0 ta được : 
0.5
1.0
0.5
4
5.0
Hỡnh vẽ 
a
2.0
Tam giỏc APH đồng dạng với tam giỏc ABQ vỡ và ( cựng phụ với )
2.0
b
3.0
Chứng minh AH = 
Từ cõu a) suy ra: 
1.0
1.0
1.0
5
2.0
Trong nữa mặt phẳng bờ Ox khụng chứa Oy vẽ tia Oz sao cho xOz = yOM.
Trờn tia Oz lấy điểm N sao cho 2ON = 3OM. khi đú NOA MOB (c.g.c)
. Nờn 2AN = 3BM
Vậy 2MA + 3MB = 2(MA + NA) > 2MN
Dấu "=" xẩy ra khi và chỉ khi A là giao điểm của MN với tia Ox.
Vậy 2MA + 3MB nhỏ nhất khi A là giao điểm của đoạn MN với tia Ox và B thuộc tia Oy sao cho 2OA = 3OB.
0.5
0.5
0.5
0.5