PHềNG GD&ĐT VŨ QUANG Trường THCS PHAN ĐèNH PHÙNG Đề thi chọn học sinh giỏi HUYỆN môn toán - lớp 8 . Năm học 2016-2017 Thời gian làm bài: 120 phút (Không kể thời gian giao đề) Bài 1. ( 2,0 điểm) Chứng minh rằng: a) Với mọi a, nếu a và b không chia hết cho 3 thì chia hết cho 9 b) Với mọi n thỡ n5 và n luụn cú chữ số tận cựng giống nhau. Bài 2. ( 2,0 điểm) a) Giải phương trình: b) Tỡm cỏc số x, y, z biết : x2 + y2 + z2 = xy + yz + zx và Bài 3. ( 1,5 điểm) Chứng minh rằng: Nếu a, b, c là cỏc số dương thoả món: thì ta cú bất đẳng thức Bài 4. ( 1,5 điểm) Cho 6a - 5b = 1. Tìm giá trị nhỏ nhất của 4a2 + 25b2 Bài 5. ( 3,0 điểm) Cho tam giác vuông cân ABC (AB = AC). M là trung điểm của AC, trên BM lấy điểm N sao cho NM = MA; CN cắt AB tại E. Chứng minh: Tam giác BNE đồng dạng với tam giác BAN. PHềNG GD&ĐT VŨ QUANG Trường THCS HƯƠNG THỌ đáp án – biểu điểm môn toán - lớp 8 . Năm học 2011-2012 Bài 1. a) (1,0 điểm) Vì a không chia hết cho 3 nên a có dạng 3k+1 hoặc 3k+2 (k) Nếu a = 3k+1 thì a2 = (3k+1)2 = 9k2+ 6k +1 chia 3 dư 1. Nếu a = 3k+2 thì a2 = (3k+2)2 = 9k2+ 12k + 4 chia 3 dư 1. Vậy nên nếu a không chia hết cho 3 thì a2 chia 3 dư 1.(1) Tương tự ta cũng có nếu b không chia hết cho 3 thì b2 chia 3 dư 1.(2) Từ (1) và (2) ta có a2-b23 (3) (0,5 đ) Ta có a6-b6 = (a2-b2)[(a2)2+a2b2+(b2)2] = (a2-b2)[( a2)2 - 2a2b2+(b2)2+3a2b2] = (a2-b2) [(a2-b2)2+ 3a2b2] Theo c/m trên a2-b23 => (a2-b2)2 3 mà 3a2b2 3 với mọi a nên (a2-b2)2+ 3a2b2 3 (4) Từ (3) và (4) suy ra (a2-b2) [(a2-b2)2+ 3a2b2] 3.3 hay a6-b6 9 (0,5 đ) b) (1,0 điểm) Ta cần chứng minh: n5 – n 10 * Chứng minh : n5 - n 2 n5 – n = n(n2 – 1)(n2 + 1) = n(n – 1)(n + 1)(n2 + 1) 2 (0,25 đ) (vỡ với nta có n(n – 1) là tớch của hai số nguyờn liờn tiếp) * Chứng minh: n5 – n 5 n5 - n = n(n – 1)(n + 1)(n2 + 1) = n( n - 1 )( n + 1)( n2 – 4 + 5) = n( n – 1 ) (n + 1)(n – 2) ( n + 2 ) + 5n( n – 1)( n + 1 ) 5 ( Vì với nta có n(n – 1)(n + 1)(n – 2) ( n + 2 ) là tớch của năm số nguyờn liờn tiếp nờn chia hết cho 5 và 5n( n – 1)( n + 1 ) 5 với mọi n) (0,5 đ) Vỡ ( 2 ; 5 ) = 1 nờn n5 – n 2.5 tức là n5 – n 10 Suy ra n5 và n cú chữ số tận cũng giống nhau. (0,25 đ) Bài 2. a) 1,0 điểm x2+ 9x + 20 = (x+4)(x+5) x2+ 11x + 30 = (x+5)(x+6) x2+ 13x + 42 = (x+6)(x+7) ĐKXĐ : (0,5 đ) => 18(x+7) – 18(x+4) = (x+4)(x+7) => (x+13)(x-2) = 0 (0,25 đ) => x = -13 hoặc x = 2 ( Thỏa mãn ĐKXĐ) Vậy PT đã cho có hai nghiệm là x1=-13; x2=2 (0,25 đ) b) 1,0 điểm Ta có x2 + y2 + z2 = xy + yz + zx 2x2 +2y2 + 2z2 - 2xy - 2yz - 2zx = 0 (x-y)2 + (y-z)2 + (z-x)2 = 0 (0,25 đ) x2009 = y2009 = z2009 (1) (0,25 đ) Theo bài ra ta có (2) Từ (1) và (2) ta cú 3.z2009 = 32010 z2009 = 32009 z = 3 (0,25 đ) Vậy x = y = z = 3 (0,25 đ) Bài 3. Chứng minh rằng: Nếu a, b, c là cỏc số dương thoả món: thì ta cú bất đẳng thức Ta có (*)(vì a,b,c > 0 nên abc>0) Mànên cộng theo vế 3 bất đẳng thức này ta được (1) Lại có (2) Từ (1) và (2) ta có (**) Từ (*) và(**) ta có (Vì a,b,c > 0 nên a + b + c> 0) Bài 4. ( 1,0 điểm) Cho 6a - 5b = 1.(1) Tìm giá trị nhỏ nhất của 4a2 + 25b2 Đặt x = 2a; y = - 5b, ta có 6a = 3x vì 6a - 5b = 1 nên (3x+ y)2 =(6a – 5b)2 = 1 áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopski cho hai số 3x và y ta có: (3x + y)2 (x2 + y2)(9 + 1) => x2 + y2 Hay 4a2 + 25b2 . Dấu bằng xẩy ra 3y = x - 15 b = 2a 6a = - 45b (2) Từ (1) và (2) => Bài 5. Cho tam giác vuông cân ABC (AB = AC). M là trung điểm của AC, trên BM lấy điểm N sao cho NM = MA; CN cắt AB tại E. Chứng minh: Tam giác BNE đồng dạng với tam giác BAN. C F M N A E B a)ANC vuông tại N (vì MN =AM = AC ) CNM + MNA = 1v BAN + NAC = 1v Mà MNA = NAC => CNM = BAN Mặt khác CNM = BNE (đđ) =>BNE = BAN => BNE BAN b) Trên tia đối tia MN lấy điểm F sao cho FM = MN. Tứ giác ANCF là hình chữ nhật (vì có 2 đường chéo bằng nhau và cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường) => CE // AF => AFB = ENB (đồng vị) =>BAN BFA => (Đpcm) Cách khác: b) Ta có:ACN EAN => BNE BAN =>. Từ (1) và (2) => BN = AE Từ Từ (3) và (4) => (Đpcm)
Tài liệu đính kèm: