Đề thi chọn học sinh giỏi huyện Hạ Hòa môn: Toán 9

PHÒNG GDĐT HẠ HÒA
ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI
MÔN: TOÁN 9
Thời gian: 150 phút
Câu 1. (4 điểm)
 1. Cho hàm số 
	 Tính tại 
2. Cho . Chứng minh rằng: 
Câu 2: (4,5 điểm)
 1. Cho biểu thức 
 Tìm tất cả các giá trị của sao cho giá trị của P là một số nguyên.
2. Tìm số nguyên a sao cho là số nguyên tố 
Câu 3. (4,5 điểm) 
 1. Cho p và 2p + 1 là hai số nguyên tố lớn hơn 3. Chứng minh rằng 4p + 1 là một hợp số.
 2. Giải phương trình: 
Câu 4. (2,5 điểm):
	Cho tam giác ABC vuông cân tại A, trung tuyến AD. Điểm M di động trên đoạn AD. Gọi N và P lần lượt là hình chiếu của điểm M trên AB và AC. Vẽ tại H. Xác định vị trí của điểm M để tam giác AHB có diện tích lớn nhất.
Câu 5.( 3,5 điểm)
 Cho hình vuông ABCD, M là một điểm tuỳ ý trên đường chéo BD.
 Kẻ MEAB, MFAD.
a. Chứng minh: DE = CF
b. Chứng minh ba đường thẳng: DE, BF, CM đồng quy.
c. Xác định vị trí của điểm M để diện tích tứ giác AEMF lớn nhất.
Câu 6.(1 điểm) 
Cho a, b dương và a2000 + b2000 = a2001 + b2001 = a2002 + b2002 
 Tinh: a2011 + b2011
--------------------------HẾT--------------------------
PHÒNG GDĐT HẠ HÒA
HƯỚNG DẪN CHẤM THI CHỌN HSG
MÔN: TOÁN 9
Câu
Đáp án
Điểm
1
1.
0,5
0,5
0,25
0.25
0,25
0,25
2. Nhân cả 2 vế của: 
 với a + b + c 
1
 rút gọn đpcm
1
2
1.Điều kiện: . Khi đó ta có
Rút gọn biểu thức ta được 
1
Ta có , ta coi đây là phương trình bậc hai của . Nếu vô lí, suy ra nên để tồn tại thì phương trình trên có 
0,75
Do P nguyên nên bằng 0 hoặc 1
+) Nếu không thỏa mãn.
+) Nếu không thỏa mãn
Vậy không có giá trị nào của x thỏa mãn.
0,75
2. Ta có : 
0,5
Vì 
Có
Và 
0,5
Vậy là số nguyên tố thì hoặc 
0,5
Nếu thử lại thấy thoả mãn
Nếu thử lại thấy thoả mãn
0,5
3
1.Do p là số nguyên tố lớn hơn 3 nên p có dạng 
0,5
*) Nếu thì 
 là hợp số (Vô lý)
0,5
*) Nếu thì 
0,5
Do nên là một hợp số.
0,5
2.Điều kiện: 
0,5
PT 
0,5
0,5
0,5
 (tmđk)
0,5
4
DABC vuông cân tại A Þ AD là phân giác góc A và AD ^ BCÞ D Î (O; AB/2)
0,25
Ta có ANMP là hình vuông (hình chữ nhật có AM là phân giác)
Þ tứ giác ANMP nội tiếp đường tròn đường kính NP
mà H thuộc đường tròn đường kính NP
Þ (1)
0,50
Kẻ Bx ^ AB cắt đường thẳng PD tại E
Þ tứ giác BNHE nội tiếp đường tròn đường kính NE
0,25
Mặt khác DBED = DCDP (g.c.g) Þ BE = PC
mà PC = BN Þ BN = BE Þ DBNE vuông cân tại B
Þ mà (cùng chắn cung BN)
Þ (2)
0,50
Từ (1) và (2) suy ra Þ H Î (O; AB/2)
gọi H' là hình chiếu của H trên AB
lớn nhất Û HH' lớn nhất
0,50
mà HH' ≤ OD = AB/2 (do H; D cùng thuộc đường tròn đường kính AB và OD ^ AB)
Dấu "=" xẩy ra Û H º D Û M º D
0,50
5
0,25
a. Chứng minh: 	
 đpcm
0,5
0,5
b. DE, BF, CM là ba đường cao của đpcm
1
c. Có Chu vi hình chữ nhật AEMF = 2a không đổi
 không đổi
0,5
 lớn nhất 
 (AEMF là h.v) 
 là trung điểm của BD.
0,25
0,25
0,25
6
 (a2001 + b2001).(a+ b) - (a2000 + b2000).ab = a2002 + b2002
(a+ b) – ab = 1
(a – 1).(b – 1) = 0
a = 1 hoặc b = 1
0,25
0,2
Vì a = 1 => b2000 = b2001 => b = 1; hoặc b = 0 (loại)
Vì b = 1 => a2000 = a2001 => a = 1; hoặc a = 0 (loại)
Vậy a = 1; b = 1 => a2011 + b2011 = 2
0,25
0,25
* Chú ý : Học sinh giải cách khác đúng vẫn cho điểm tối đa
-----------------HẾT------------------