Đề thi chọn học sinh giỏi cấp trường – số 6 môn Toán 9

ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TRƯỜNG – SỐ 6
NĂM HỌC: 2015-2016
Môn thi: Toán - Lớp 9
Câu I. (4,0 điểm): Cho biểu thức 
 1) Tìm điều kiện của x để biểu thức A có nghĩa.
 2) Rút gọn biểu thức A.
 3) Tìm giá trị của x để là số tự nhiên.
Câu II. (4,0 điểm)
 1) Giải phương trình: 
 2) Tìm tất cả các cặp số nguyên tố (p;q) sao cho: p2 - 2q2 = 1 
Câu III. (4,0 điểm): Cho hai đường thẳng: y = x+3 (d1) ; y = 3x+7 (d2)
 1) Gọi A và B lần lượt là giao điểm của (d1) và (d2) với trục Oy. Tìm tọa độ trung điểm I của đoạn thẳng AB.
 2) Gọi J là giao điểm của (d1) và (d2) . Tam giác OIJ là tam giác gì? Tính diện tích của tam giác đó.
Câu IV. (6,0 điểm)
 Cho đường tròn (O;R) đường kính AB. Gọi M là điểm nằm giữa A và B. Qua M vẽ dây CD vuông góc với AB, lấy điểm E đối xứng với A qua M.
 1) Tứ giác ACED là hình gì? Vì sao? 
 2) Gọi H và K lần lượt là hình chiếu của M trên AC và BC. Chứng minh rằng:
 3) Gọi C’ là điểm đối xứng với C qua A. Chứng minh rằng C’ nằm trên một đường tròn cố định khi M di chuyển trên đường kính AB (M khác A và B).
Câu IV. (2,0 điểm)
Cho a, b, c là 3 số dương thỏa mãn: a+b+c =1. Chứng minh rằng:
ĐÁP ÁN - ĐỀ SỐ 6
Câu
Ý
Lời giải 
Điểm
I
(4.0đ)
1
(0.5đ)
Điều kiện: 
0.5
2
(2.0đ)
1.0
0.5
0.5
3
(1.5đ)
Với ĐK: 
Ta có: 
Vì với mọi nên 
Do đó: khi hoặc 
Mà nên hoặc . 
Do đó: x = 0 hoặc 
Vậy là số tự nhiên khi x = 0 hoặc 
0.5
0.25
0.25
0.25
0.25
II
(4.0đ)
1
(2.0đ)
Giải phương trình: (1)
ĐK: 
Đặt 
Khi đó ta được PT: 
Mà a + b + 1 > 0 nên a = b.
Do đó (1) 
Vậy nghiệm của PT là 
0.25
0.25
0.5
0.25
0.5
0.25
2
(2.0đ)
Ta có: p2 -2q2 = 1 p2 =2q2 + 1 p lẻ. 
Đặt p = 2k+1 (kN*) (2k+1)2 = 2q2 + 1 q2 = 2(k2+k) 
q chẵn mà q nguyên tố nên q = 2 p = 3 (thỏa mãn)
Vây cặp số nguyên tố (p;q) cần tìm là (3;2)
0.5
0.75
0.5
0.25
III
(4.0đ)
2a
(1.5đ)
Tìm được A(0;3); B(0;7)
 suy ra I(0;5)
0.75
0.75
2b
(2.5đ)
Hoành độ giao điểm J của (d1) và (d2) là nghiệm của PT: x+3 = 3x+7
x = -2 yJ = 1 J(-2;1)
Suy ra: OI2 = 02 + 52 = 25; OJ2 = 22 + 12 = 5; IJ2 = 22 + 42 = 20
OJ2 + IJ2 = OI2 tam giác OIJ là tam giác vuông tại J
 (đvdt)
0.5
0.5
0.75
0.25
0.5
IV
(6.0đ)
1
(2.0đ)
0.75
0.5
0.75
2
(2.0 đ)
0.25
0.25
0.25
0.25
0.25
0.25
0.25
0.25
3
(2.0 đ)
Lấy O’ đối xứng với O qua A suy ra O’ cố định.
Tứ giác COC’O’ là hình bình hành vì có hai đường chéo cắt nhau tại trung điểm A của mỗi đường.
Do đó O’C’ = OC = R không đổi
Suy ra C’ nằm trên đường tròn (O’,R) cố định khi M di chuyển trên đường kính AB.
0.5
0.5
0.5
0.5
V
(2.0đ)
Vì a + b + c = 1 nên
Nên BĐT cần chứng minh tương đương với:
Mặt khác dễ thấy: x2 + y2 + z2 xy + yz + zx , với mọi x, y, z. (*)
Áp dụng (*) ta có:
Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi a = b = c = Đpcm.
0.5
0.25
0.25
0.5
0.25
0.25
Chú ý: 
1) Nếu thí sinh làm bài không theo cách nêu trong đáp án nhưng đúng thì cho đủ số điểm từng phần như hướng dẫn quy định.
2) Bài hình không vẽ hình thì không chấm điểm.