Đề thi chọn học sinh giỏi cấp trường năm học 2016 - 2017 môn Toán lớp 9

PHềNG GD-ĐT MỘ ĐỨC TRƯỜNG THCS ĐỨC MINH 
ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TRƯỜNG
NĂM HỌC 2016-2017
MễN TOÁN LỚP 9
Ngày thi 13 thỏng 10 năm 2016
Thời gian làm bài 150 phỳt khụng kể thời gian giao đề
Bài 1: (4,0 điểm) 
Cho biểu thức 
 Với 
a) Rút gọn biểu thức A.
b) Tính giá trị của A khi 
c) So sánh A với .
Bài 2: (3,5 điểm) Chứng minh rằng:
a) Biết a; b; c là 3 số thực thỏa mãn điều kiện: 
a = b + 1 = c + 2 ; c >0. 
b) Biểu thức B= có giá trị là một số tự nhiên.
Bài 3: (3,0 điểm) Giải phương trình
a) 
b) .
Bài 4.(8,0 điểm)
Cho đường trũn tõm O, bỏn kớnh R. Vẽ hai đường kớnh AB và CD vuụng gúc với nhau. Lấy điểm E bất kỡ trờn cung nhỏ AD. Nối E với C cắt OA tại M; nối E với B cắt OD tại N. 
Tớnh CM.CE + BD2 theo R.
Chứng minh rằng tớch là một hằng số. 
Tỡm vị trớ của điểm E để tổng đạt giỏ trị nhỏ nhất. Tớnh giỏ trị đú.
Bài 5: (1,5 điểm) Cho 
a) Chứng minh rằng M có giá trị nguyên.
b) Tìm chữ số tận cùng của M. 
Chú ý: Thí sinh không được sử dụng máy tính.
----- Hết ---
ĐÁP ÁN 
 Bài 1 (4 điểm)
a) Rút gọn biểu thức (2 điểm) 
0.5
0.5
0.25
0.25
0.5
b) Tính giá trị của A khi (1 điểm).
 Tính 
0.5
0.5
c) So sánh A với (1 điểm).
 Biến đổi 
 Chứng minh được với mọi 
0.25
0.25
0.5
Bài 2 (3 điểm)
a) Chứng minh rằng biết a; b; c là ba số thực thoả mãn điều kiện a = b + 1 = c + 2 ; c > 0 (2 điểm).
Ta có: .
. (c > 0 theo (gt))
Từ (1) và (2) suy ra a > b > c > 0.
Mặt khác (Vì a >b>0)
.
Chứng minh tương tự cho trường hợp: .
 Vậy (đpcm).
0.5
0.25
0.25
0.5
0.25
0.25
b) Biểu thức có giá trị là một số tự nhiên (1 điểm).
Ta có : B = =.
=.
= 2017.
Vậy B có giá trị là một số tự nhiên.
0.5
0.25
0.25
Bài 3 (3điểm) Giải phương trình
a) (1.75 điểm)
Điều kiện 
x = 2 thoả mãn điều kiện xác định. Vậy phương trình có nghiệm duy nhất x = 2.
0.5
0.25
0.25
0.5
0.25
b) (1). (1.25 điểm).
Điều kiện .
 (2)
(Vì nên x + 3 > 0).
Giải tiếp phương trình (2) ta được nghiệm của phương trình là x = 2.
0.25
0.25
0.25
0.5
Bài 4 (8 điểm) vẽ hỡnh 1 điểm
Xột và cú và là gúc chung 
 ഗ (g.g) 
Xột vuụng tại O. Theo định lý Py-ta-go 
Vậy 
0,5 
0,5 
0,5 
0,5 
S
Ta cú: (cmt) 
Ta cú: ഗ (, ) 
Từ (1) và (2) suy ra: (AOC vuụng cõn tại O) 
Tương tự :
S
S
Từ (4) và (5): . 
Từ (3) và (6): là một hằng số. .
0,5 
0,5 
0,5 
0,5 
0,5 
0,5 
Đặt . Ta cú: x, y khụng õm và: 
Dấu "=" xảy ra khi: x = y và xy = (TMĐK)
Vậy: Tổng 
Û E là điểm chớnh giữa cung nhỏ.
0,5 
0,5 
0,5 
0,5 
5.a) Chứng minh giá trị của M là một số nguyên. (1 điểm)
Biến đổi .
Đặt ; và .
Đặt với . Khi đó M = U1004
Ta có 
 (vì ab = 1).
 (*).
Ta thấy U0 = 2 Z ; U1 = a + b = 10 Z.
 .
Theo công thức (*) thì mà U1, U2 suy ra .
Lại theo (*) cũng có giá trị nguyên.
Quá trình trên lặp đi lặp lại vô hạn suy ra Un có giá trị nguyên với mọi n .
Suy ra M = U1004 có giá trị là một số nguyên.
0.25
0.25
0.25
0.25
b)Tìm chữ số tận cùng của M. (0.5 điểm)
Từ (*) suy ra 
và Ur
có chữ số tận cùng giống nhau.
 1004 = 4.251 suy ra U1004 và U0 có chữ số tận cùng giống nhau.
Mà U0 có chữ số tận cùng là 2 (theo c/m câu a) nên M có chữ số tận cùng bằng 2. 
0.25
0.25
Chú ý: 1. Nếu thí sinh làm bài bằng cách khác đúng thì vẫn cho điểm tương đương.
 2. Điểm toàn bài không được làm tròn.
---------------- Hết ----------------