Đề thi chọn học sinh giỏi cấp tỉnh Vĩnh Phúc lớp 12 THPT năm học 2014-2015 môn: Toán THPT chuyên

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
VĨNH PHÚC
KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH
LỚP 12 THPT NĂM HỌC 2014-2015
Môn: TOÁN THPT CHUYÊN
Thời gian: 180 phút, không kể thời gian giao đề.
Ngày thi 23/10/2014
Câu 1 (2,5 điểm). 
Cho dãy số thực xác định bởi và với mọi 
Chứng minh rằng dãy số có giới hạn hữu hạn . Tính giới hạn đó. 
Câu 2 (1,5 điểm). 
Chứng minh rằng nếu , thì .
Câu 3 (2,0 điểm). 
Tìm tất cả các cặp số nguyên dương với nguyên tố cùng nhau và thỏa mãn phương trình .
Câu 4 (3,0 điểm). 
Cho đường tròn tâm và là hai đường kính của đường tròn đó. Tiếp tuyến với đường tròn tạicắttại Gọi là giao điểm thứ hai của đường thẳng với đường tròn Gọi là trung điểm của Chứng minh rằng
Các điểm cùng nằm trên một đường tròn 
Ba đường thẳng đồng qui.
Câu 5 (1,0 điểm). 
Tập hợp có các phần tử là số thực được gọi là "Đặc biệt" nếu nó thỏa mãn đồng thời hai tính chất sau đây.
Với mỗi thí các số và đều khác không và có đúng một số trong chúng là số hữu tỷ.
Với mỗi là số vô tỷ.
Một tập hợp "Đặc biệt"có nhiều nhất bao nhiêu phần tử ? Bạn hãy lấy ra một ví dụ minh họa.
. Hết.
- Thí sinh không được sử dụng máy tính cầm tay. 	
- Giám thị coi thi không giải thích gì thêm.
- Họ và tên thí sinh 	.Số báo danh.
SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
VĨNH PHÚC
KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH
LỚP 12 THPT NĂM HỌC 2014-2015
Môn: TOÁN THPT CHUYÊN
HƯỚNG DẪN CHẤM
(Gồm 04 trang)
Lưu ý khi chấm bài:
- Đáp án chỉ trình bày một cách giải bao gồm các ý bắt buộc phải có trong bài làm của học sinh. Khi chấm nếu học sinh bỏ qua bước nào thì không cho điểm bước đó.
- Nếu học sinh giải cách khác, giám khảo căn cứ các ý trong đáp án để cho điểm.
- Trong bài làm, nếu ở một bước nào đó bị sai thì các phần sau có sử dụng kết quả sai đó không được điểm.
- Học sinh được sử dụng kết quả phần trước để làm phần sau.
- Trong lời giải câu 4 nếu học sinh không vẽ hình thì không cho điểm.
- Điểm toàn bài tính đến 0,25 và không làm tròn.
Câu 1. (2,5 điểm)
Nội dung
Điểm
Bằng quy nạp, ta dễ dàng chứng minh được 
0,25
Ta có 
Giả sử . Khi đó theo nguyên lý quy nạp suy ra . Tóm lại ta đã chứng minh được 
0,5
Ta có . Giả sử khi đó
Vậy theo nguyên lý quy nạp toán học suy ra dãy số đã cho là dãy số tăng.
0, 5
Dãy tăng và bị chặn trên do đó dãy có giới hạn hữu hạn. Đặt 
0,25
. Từ cho ta được 
Với điều kiện ta có 
0,5
Dễ thấy . Vậy phương trình có nghiệm duy nhất 
 . Từ đó 
Kết luận: dãy số có giới hạn hữu hạn và và 
0, 5
Câu 2. (1,5 điểm)
Nội dung
Điểm
Ta chứng minh cho bài toán tổng quát 
(ở bài toán này thì ) 
0,25
Áp dụng bất đẳng thức Cauchy-Schwarz ta có 
0,25
0,25
Tương tự 
0,25
Từ suy ra 
0,25
Dấu bằng xẩy ra khi và chỉ khi 
0,25
Câu 3. (2,0 điểm)
Nội dung
Điểm
Áp dụng đẳng thức .Từ giả thiết
0,5
 ,mặt khác
 ( do )
 ( do từ )
0, 5
Trường hợp 1. thay vào phương trình đã cho ta được
0,25
Trường hợp 2. . thay vào phương trình đã cho ta được
 ( loại )
0,25
Trường hợp 3. . thay vào phương trình đã cho ta được
0,25
Trường hợp 4 . thay vào phương trình đã cho ta được
 do thử lại không có giá trị nào thỏa mãn. Vậy các cặp 
0,25
Câu 4. (3,0 điểm) 
Nội dung
Điểm
a) (1,0 điểm).
 Ta có nên Mà suy ra 4 điểm 
nằm trên đường tròn đường kính 
1,0
b) (1,0 điểm).
Gọi là trung điểm của Ta có nên 
Mà Tam giác vuông tại có suy r(c.c.c), do đó
0,5
Từ (1),(2),(3) ta có suy ra 4 điểm nằm trên một đường tròn Ta có
0,5
Hơn nữasuy ralà trục đẳng phương của hai đường tròn và 
0,5
 là trục đẳng phương của hai đường tròn và là trục đẳng phương của hai đường tròn và 
Vậy ba đường thẳng đồng qui tại S là tâm đẳng phương của ba đường trònvà
0,5
Câu 5. (1,0 điểm)
Nội dung
Điểm
Ta chứng minh tập “ Đặc biệt” có nhiều nhất bốn phần tử
0,25
Từ hai điều kiện ban đầu thì tập đặc biệt là tập hợp có các phần tử là số vô tỉ. Ta có các nhận xét sau
Nhận xét 1. Nếu là ba phần tử phân biệt của thì cả ba số không đồng thời là số hữu tỷ. Ngược lại ta có 
Vô lý ( từ đ/k số 2)
0,25
Nhận xét 2. Nếu là ba phần tử phân biệt của thì cả ba số không đồng thời là số hữu tỷ. Ngược lại ta có 
Vô lý ( từ đ/k số 2)
Nhận xét 3. Nếu , với mỗi .
 Ngược lại theo nhận xét 1 và 2 ở trên thì ta có hoặc , với trường hợp đầu do vì vô lí trường hợp hai tương tự
0,25
Giả sử rằng tồn tại tập “ đặc biệt” có 5 phần tử là theo nhận xét 1 ta có ít nhât hai phần tử có tổng là số vô tỉ chẳng hạn là .Cho nên theo nhận xét 3 thì là các số hữu tỷ. Vì thế cho nên theo nhận xét 1 các số không đồng thời là số hữu tỷ và theo các khẳng định trên thì tất cả ba số là số hữu tỷ vô lý với nhận xét 2
0,25
. Hết.
ĐỀ CHÍNH THỨC THAY BỞI CÁC CÂU SAU
Câu 1.Cho hai dãy số xác định bởi 
Với mỗi số nguyên dương ,đặt . Chứng minh rằng dãy hội tụ và tìm giới hạn đó
Câu 2. Tìm tất cả các cặp số nguyên tố sao cho chia hết cho và chia hết cho .