Đề thi chọn học sinh giỏi cấp tỉnh Quảng Ngãi lớp 9 năm học 2016-2017 môn: Toán

 SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
 Quảng ngói
 ĐỀ CHÍNH THỨC
 (Đề thi cú 1 trang)
 KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH LỚP 9
NĂM HỌC 2016-2017
 Mụn : TOÁN
 Thời gian làm bài: 150 phỳt (khụng kể thời gian giao đề)
 Ngày thi :18/02/2017
Cõu 1: (2,0 điểm) Cho a – b = 3.Tớnh giỏ trị của biểu thức: A= a2(a+1) – b2(b – 1) +ab – 3ab(a – b +1). 
Cõu 2: (2,0 điểm) Rỳt gọn : B = 
Cõu 3: (2,0 điểm) Chứng minh : n3 – 6n2 – 13n + 18 chia hết cho 6 . ( nZ )
Cõu 4: (2,0 điểm) Cho hàm số y = f(x) = (4m - m2 -5)x -.So sỏnh f(1-) và f(1-).
Cõu 5: (1,5điểm) Cho DABC cú trung tuyến AM .Chứng minh : 
Cõu 6 : (1,5điểm) Tỡm số tự nhiờn a biết a + 13 và a – 76 là cỏc số chớnh phương.
Cõu 7: (1,5điểm) Chứng minh rằng với mọi x,y ta cú : 
Cõu 8: (1,5điểm) Tỡm giỏ trị nhỏ nhất của biểu thức: C = 
Cõu 9: (1,5điểm) Cho DABC cú nhọn nội tiếp đường trũn (O;R) .Chứng minh rằng:
Cõu 10:(1,5điểm) Tỡm cỏc số nguyờn tố x,y thoả món : x2 – 2y2 = 1
Cõu 11:(1,5điểm) Cho DABC, đường thẳng d cắt AB , AC và trung tuyến AM theo thứ tự tại E ,F,N 
 (EA,B và FA,C ).Chứng minh : .
Cõu12:(1,5điểm) Cho đường trũn (O;R) và đường thẳng a ở ngoài đường trũn. Gọi OH là khoảng 
 cỏch từ tõm O đến a và M là một điểm chuyển động trờn a. Từ M kẻ hai tiếp tuyến 
 MA,MB với đường trũn (O) (A, B là hai tiếp điểm). Gọi D là giao điểm của AB với 
 OH. Chứng minh rằng D là điểm cố định .
. . . . . . . HẾT . . . . . . .
-Thớ sinh khụng được sử dụng mỏy tớnh cầm tay.
- Giỏm thị khụng được giải thớch gỡ thờm.
Họ và tờn thớ sinh : ...................................... Giỏm thị 1: .......................................Ký tờn................... 
Số Bỏo danh ........................................... Giỏm thị 2: .......................................Ký tờn................... 
SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
 quảng ngói-trương quang an-nghĩa thắng - tư nghĩa
 KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH LỚP 9
NĂM HỌC 2016-2017
 Mụn : TOÁN 
 Ngày thi :18/02/2017
HƯỚNG DẪN CHẤM ĐỀ CHÍNH THỨC VÀ THANG ĐIỂM
Cõu 1(2,0 điểm) Biết a – b = 3. Tớnh giỏ trị của biểu thức: A= a2(a+1) – b2(b – 1) +ab – 3ab(a–b+1). 
A = a3+ a2–b3+b2+ab–3a2b +3ab2–3ab	 0,5đ
= (a3–3a2b +3ab2– b3) + (a2–2ab +b2)	 0,5đ
 = (a–b)3+(a–b)2 	 0,5đ
= 33+32=36	 0,5đ	
Cõu 2(2,0 điểm) B =	0,5đ
 =	0,5đ
 =	0,5đ
 = -1 0,5đ
Cõu 3: (2,0 điểm) Chứng minh : n3 – 6n2 – 13n + 18 chia hết cho 6 . ( nZ )
A = n3 – 6n2 – 12n + 18 A = n3 – n – 6n2 –12 n + 18	0,5đ
A = n(n – 1)(n+1) – 6n2 – 12n + 18	 0,5đ
Do n(n – 1)(n+1) là tớch 3 số nguyờn liờn tiếp nờn n(n – 1)(n+1) 6 	 0,5đ
Mặt khỏc – 6n2 – 12n + 18 6 nờn A 6	 0,5đ
Cõu 4: (2,0 điểm) Cho hàm số y = f(x )= (4m-m2-5)x-.So sỏnh f(1-)và f(1-).
Biến đổi (4m - m2 - 5) = 	 0,5đ
 hàm số y = f(x ) nghịch biến	 0,5đ
Lập luận 	 0,5đ
	 0,5đ
Cõu 5 : (1,5điểm) Cho tam giỏc ABC cú trung tuyến AM .Chứng minh : 
	Vẽ AHBC ,HBC 
	c/m được AB2+AC2 = 2AH2+ BH2+ CH2	 (1) 0,5đ
	c/m được AH2 = AM2 - HM2
	BH2 = BM2 -2BM. HM+HM2
	CH2 = HM2 -2HM. CM+CM2	(2)	 0,5đ
 Từ (1),(2) 0,5đ
 Cõu 6: (1,5điểm) Tỡm số tự nhiờn a biết a + 13 và a – 76 là cỏc số chớnh phương.
Vỡ a + 13 và a – 76 là cỏc số chớnh phương
Đặt a + 13 = , a – 76 = với m, n N.	 0,25đ
 m2 – n2 = 89 (m – n)(m + n) = 89	 0,25đ
Vỡ 89 là số nguyờn tố và m – n < m + n nờn 	 0,75đ
a +13 = 452 a = 2012	 0,25đ
Cõu 7 : (1,5điểm) Chứng minh rằng với mọi x,y ta cú : (1)
(1) x(x3- y3) – y(x3- y3) 0 	 0,5đ
 (x-y)2(x2 + xy + y2) 0	 0,25đ
	(x-y)2 (2)	 0,25đ	(2) luụn đỳng (1) đỳng	 0,25đ
	Dấu “ =” xày ra khi x = y	 0,25đ	
Cõu 8: (1,5điểm) Tỡm giỏ trị nhỏ nhất của biểu thức: C = 
 C= 	 0,25đ
 Đặt t = |2x- 3| 0 C = t2 – 2t + 6	 0,5đ
 C = (t –1)2 + 5 5	 0,25đ
 giỏ trị nhỏ nhất của biểu thức C là 5 khi t = 1x = 2 hoặc x = 1	 0,5đ
Cõu 9: (1,5điểm) Cho tam giỏc ABC cú nhọn nội tiếp đường trũn (O;R) .Chứng minh 
 rằng: 
	Vẽ đường kớnh BD DBCD vuụng tại C	 0,5đ
	 BC = BD.sinD (1)	 0,25đ
	Ta cú , BD = 2R (2)	 0,5đ
	Từ (1) và (2) BC = 2R.sinA 0,25đ
Cõu 10: (1,5điểm) Tỡm cỏc số nguyờn tố x,y thoả món : x2 – 2y2 = 1
 x2 – 2y2 = 1 (x-1)(x+1) = 2y2	 0,5đ
Vỡ y nguyờn tố và x+1 > x-1 nờn chỉ xảy ra cỏc trường hợp:
	 0,25đ	 
2) (loại) 0,25đ
3) 0,25đ
Vậy (x;y) = (3;2)	 0,25đ
Cõu 11: Cho DABC, đường thẳng d cắt AB và AC và trung tuyến AM theo thứ tự là E , F , N . (EA,B và FA,C )Chứng minh : 
 Kẻ 	 0,25đ
 Ta có: 	 0,25đ
 	 0,25đ
 c/m (cgc) 0,25đ
 0,25đ 
 Thay vào (*) ta được (đpcm) 0,25đ 
 Cõu 12: 
Cho đường trũn (O;R) và đường thẳng a ở ngoài đường trũn. Gọi OH là khoảng cỏch từ tõm O đến a và M là một điểm chuyển động trờn a. Từ M kẻ hai tiếp tuyến MA,MB với đường trũn (O) ( A,B là hai tiếp điểm). Gọi D là giao điểm của AB và OH. Chứng minh rằng D là điểm cố định 
Gọi C là giao điểm của AB và OM
Chứng minh được OC.OM = OD.OH	 0,5đ
Lập luận OC.OM = OA2= R2	 0,25đ
 OD.OH = R2 0,5đ	 0,25đ
Chứng minh được : khụng đổi	 0,25đ
D thuộc đoạn thẳng cố định OH nờn D cố định	 0,25đ
. . . . . . . HẾT . . . . . . .
Ghi chỳ: Nếu học sinh giải đỳng bằng cỏch khỏc thỡ giỏm khảo căn cứ biểu điểm để cho điểm tương ứng.