Đề thi chọn học sinh giỏi cấp tỉnh Quảng Bình lớp 9 THPT năm học 2012- 2013 môn thi: Toán

 SỞ GD&ĐT KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH LỚP 9 THPT 
QUẢNG BèNH NĂM HỌC 2012- 2013
	 Mụn thi: Toỏn
ĐỀ THI CHÍNH THỨC	 (Khúa ngày 27 thỏng 3 năm 2013)
SỐ BÁO DANH:.. Thời gian làm bài: 150 phỳt (khụng kể thời gian giao đề)
Cõu 1:(2.0 điểm) 
Cho biểu thức: 
Rỳt gọn P.
b) Tỡm x để P đạt giỏ trị nhỏ nhất.
Cõu 2:(2.0 điểm) 
Cho phương trỡnh 
a) Tỡm m để phương trỡnh cú hai nghiệm phõn biệt thỏa món 
b) Tỡm m nguyờn để phương trỡnh cú hai nghiệm nguyờn.
Cõu 3:(3,5 điểm) 
Cho tam giỏc ABC đều cố định nội tiếp trong đường trũn (O). Đường thẳng d thay đổi nhưng luụn đi qua A và cắt cung nhỏ AB tại điểm thứ hai là E (EA). Đường thẳng d cắt hai tiếp tại B và C của đường trũn (O) lần lượt tại M và N. MC cắt BN tại F. Chứng minh rằng: 
a) Tam giỏc CAN đồng dạng với tam giỏc BMA, tam giỏc MBC đồng dạng với tam giỏc BCN.
b) Tứ giỏc BMEF là tứ giỏc nội tiếp. 
c) Chứng minh đường thẳng EF luụn đi qua một điểm cú định khi d thay đổi nhưng luụn đi qua A.
Cõu 4:(1,5 điểm) 
Cho các số thực dương a, b, c thoả mãn a + b + c =6. Chứng minh rằng:
. Dấu đẳng thức xảy ra khi nào?
Cõu 5:(1,0 điểm) 
Cho n là số tự nhiờn lớn hơn 1. Chứng minh rằng là hợp số.
--------------------HẾT----------------------
 SỞ GD&ĐT KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH LỚP 9 THPT 
QUẢNG BèNH NĂM HỌC 2012 - 2013
	 Mụn thi: Toỏn 
	 (Khúa ngày 27 thỏng 3 năm 2013)
	 HƯỚNG DẪN CHẤM
(Đỏp ỏn, hướng dẫn này cú 4 trang)
yêu cầu chung 
* Đỏp ỏn chỉ trỡnh bày một lời giải cho mỗi bài. Trong bài làm của học sinh yờu cầu phải lập luận lụ gic chặt chẽ, đầy đủ, chi tiết và rừ ràng.
* Trong mỗi bài, nếu học sinh giải sai ở bước giải trước thỡ cho điểm 0 đối với những bước giải sau cú liờn quan. Ở cõu 3 nếu học sinh khụng vẽ hỡnh hoặc vẽ hỡnh sai thỡ cho điểm 0.
* Điểm thành phần của mỗi bài núi chung phõn chia đến 0,25 điểm. Đối với điểm thành phần là 0,5 điểm thỡ tuỳ tổ giỏm khảo thống nhất để chiết thành từng 0,25 điểm.
* Học sinh cú lời giải khỏc đỏp ỏn (nếu đỳng) vẫn cho điểm tối đa tuỳ theo mức điểm của từng bài.
* Điểm của toàn bài là tổng (khụng làm trũn số) của điểm tất cả cỏc bài.
Cõu
Nội dung
Điểm
1
ĐK: .Ta cú:
1,0 điểm
0,25
0,25
0,25
0,25
 b) 
 Vậy GTNN của P = 4 khi 
1,0 điểm
0,5
0,25
0,25
2
a) 
Ta cú: 
Vậy phương trỡnh luụn cú 2 nghiệm phõn biệt với mọi m.
Theo định lý Viet: 
1,0 điểm
0,25
0,25
0,25
0,25
Gọi là hai nghiệm nguyờn của phương trỡnh.
Ta cú: . 
Suy ra . 
TH1: 
TH2: 
TH3: 
TH4: 
Thử lại m=0, m=1, m=-3,m=4 thỏa món điều kiện bài toỏn.
1,0 điểm
0,25
0,5
0,25
3
3,5 điểm
0,5
a) Ta cú: AC//BM suy ra 
 AB//CN suy ra 
 Do đú tam giỏc CAN đồng dạng với tam giỏc BMA 
 Suy ra: 
 Mặt khỏc 
 Suy ra tam giỏc MBC đồng dạng với tam giỏc BCN.
0,5
0,25
0,25
0,25
b) 
Mặt khỏc (do t/c gúc ngoài của tứ giỏc nội tiếp)
Suy ra . Do đú tứ giỏc BMEF nội tiếp.
0,5
0,25
0,25
c) Gọi I là giao điểm EF với BC.
Ta cú (cõu a), suy ra IB là tiếp tuyến của đường trũn ngoại tứ giỏc BMEF.
Tương tự chứng minh được IC là tiếp tuyến của đường trũn ngoại tứ giỏc CNEF.
Từ đú: hay I là trung điểm BC.
Vậy d luụn đi qua điểm cố định là I.
0,25
0,25
0,25
4
Đặt . (x, y, z >0) 
Dấu bằng xảy ra khi x=y=z, suy ra a=3, b=2, c=1 
1,5 điểm
0,5
0,5
0,25
0,25
5
n là số tự nhiờn lớn hơn 1 nờn n cú dạng n = 2k hoặc n = 2k + 1, với k là số tự nhiờn lớn hơn 0.
- Với n = 2k, ta cú lớn hơn 2 và chia hết cho 2. Do đú là hợp số.
-Với n = 2k+1, tacú 
Mỗi thừa số đều lớn hơn hoặc bằng 2. Vậy n4 + 4n là hợp số
1,0 điểm
0,25
0,25
0,25
0,25