Đề thi chọn học sinh giỏi cấp tỉnh Phú Thọ lớp 9 THCS năm học 2014-2015 môn Toán

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO 
ĐỀ CHÍNH THỨC
PHÚ THỌ
KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH
Lớp 9 THCS năm học 2014-2015
Môn Toán
Thời gian làm bài: 150 phút, không kể thời gian giao đề
Đề thi có 01 trang
-----------------------------------------------------------
Câu 1 (3,0 điểm) 
a)Tìm các số nguyên x, y thỏa mãn phương trình: .
b) Chứng minh rằng với ba số tự nhiên a,b,c trong đó có đúng một số lẻ và hai số chẵn ta luôn có Chia hết cho 96
Câu 2 (4,0 điểm) 
Chứng minh rằng với mọi số nguyên dương n ta có 
Tính tổng 
Câu 3 (4,0 điểm)
a) Giải phương trình
b) Giải hệ phương trình
Câu 4 (7,0 điểm) 
Cho BC là dây cung cố định của đường tròn (O; R) ,( BC<2R),A là điểm di động trên cung lớn BC,( A không trùng B,C). Gọi AD, BE, CF là các đường cao của tam giác ABC;EF cắt BC tại P ,qua D kẻ đường thẳng song song với EF cắt AC tại Q và cắt AB tại R .
Chứng minh tứ giác BQCR là tứ giác nội tiếp
 Gọi M là trung điểm cạnh BC .Chứng minh hai tam giác EPM,và DEM là hai tam giác đồng dạng.
Chứng minh rằng đường tròn ngoại tiếp tam giác PQR luôn đi qua một điểm cố định
Câu 5 (2,0 điểm) 
 Cho các số thực dương x,y,z thỏa mãn 
Chứng minh rằng 
------------------------------------ Hết --------------------------------------
Hướng dẫn
Câu 1 (3,0 điểm) 
a)Tìm các số nguyên x, y thỏa mãn phương trình: .
b) Chứng minh rằng với ba số tự nhiên a,b,c trong đó có đúng một số lẻ và hai số chẵn ta luôn có Chia hết cho 96
Hướng dẫn 
a)
PT có 6 nghiệm và 3 hoán vị 
Đặt a+b-c =z; b+c-a=x; a+c-b=y thì x+y+z=a+b+c
Ta có 
Câu 2 (4,0 điểm) 
Chứng minh rằng với mọi số nguyên dương n ta có 
Tính tổng 
Hướng dẫn a) 
Nên 
b) 
Câu 3 (4,0 điểm)
a) Giải phương trình
b) Giải hệ phương trình
Hướng dẫn 
ĐKXĐ: 
Giải ra x=1 hoặc x=1
b) 
từ PT (1) ta có :
thay vào PT (2) giải ra có 5 nghiệm 
Do tứ giác BCEF nội tiếp suy ra mà ( so le )
Suy ra nên tứ giác BQCR nội tiếp 
EM là trung tuyến tam giác vuông BEC nên tam giác ECM cân tại M suy ra mà tứ giác BCEF; ACDF nội tiếp nên suy ra 
 suy ra tứ giác DMEF nội tiếp suy ra mà nên tam giác EPM,và DEM đồng dạng (g.g)
c)do DMEF nội tiếp suy ra mà nên tam giác PFD đồng dạng tam giác EMD (g.g) suy ra do nên tam giác FDR cân tại D suy ra FD=DR;tương tự tam giác DEQ cân tại D nên DE=DQ
mà FD=DR; DE=DQ suy ra 
suy ra tam giác PDR đồng dang tam giác QDM ( c.g.c) suy ra suy ra tứ giác PRMQ nội tiếp nên đường tròn ngoại tiếp tam giác PQR đi qua điểm M cố định
Câu 5 ( 2.0 điểm)
Cho các số thực dương x,y,z thảo mãn 
Chứng minh rằng 
Hướng dẫn
Ta có 
Nên 
Áp dụng BĐT Bunhia cho 2 dãy dãy 1 : 
	Dãy 2 : 
(*)
 Ấp dụng Côsi ;;
Nên 
Thay Vào (*) Ta có 
Hay 
Dấu “=” xảy ra khi 
Cách khác 
;;
Nên
Có thể còn cách khác hoặc cách giải chưa chính xác mong các bạn bổ sung nhé 
GV Nguyễn Minh Sang THCS Lâm Thao