Đề thi chọn học sinh giỏi cấp tỉnh năm học 2014 - 2015 môn: Toán lớp 8

Đỗ Văn Lâm - Tr−ờng THCS TT Tân Uyên 
Sở giáo dục và đào tạo lai châu 
 (Đề thi gồm 01 trang) 
kỳ thi chọn học sinh giỏi cấp tỉnh 
năm học 2014 - 2015 
môn: toán - lớp 8 cấp THCS 
Thời gian làm bài: 150 phút 
 (không tính thời gian giao đề) 
Câu 1: (4,0 Điểm) 
 1, Phân tích đa thức sau thành nhân tử: (x2 - 3x + 2)2 - 4x + 2 
 2, Chứng minh rằng: x2002 + x2000 + 1 chia hết cho x2 + x + 1 
Câu 2: (6,0 điểm) 
 1, Cho hai số d−ơng x, y có tổng bằng 1. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: 
 P = 2 2
1 11 1
x y
  
− −  
  
 2, Cho a, b, c > 0 thỏa m7n: ab + bc + ca = 3. Chứng minh rằng: 
 2 2 2 2 2 2
1 1 1 1
a b 1 b c 1 c a 1
+ + ≤
+ + + + + +
Câu 3: (4,0 điểm) 
 Cho biểu thức A = 3 2 2
1 2x 2x
: 1
x 1 x x x 1 x 1
   
− −   
− + − − +   
 1, Rút gọn biểu thức A; 
 2, Với giá trị nào của x thì biểu thức A có giá trị d−ơng; 
 3, Tìm giá trị nguyên của x để biểu thức A có giá trị nguyên. 
Câu 4: (3,5 điểm) 
 Cho hình bình hành ABCD, gọi O là giao điểm của hai đ−ờng chéo AC và BD. Gọi 
M, N lần l−ợt là trung điểm của BO và AO. Lấy điểm F trên cạnh AB sao cho tia FM cắt 
cạnh BC tại E và tia FN cắt cạnh AD tại K. Chứng minh rằng: 
 1, 
BA BC 4
BF BE
+ = 2, BE + AK ≥ BC 
Câu 5: (3,5 điểm) 
Cho đa giác đều n cạnh, dùng ba màu xanh, đỏ, vàng tô màu các đỉnh một cách tùy 
ý (mỗi đỉnh đ−ợc tô bởi một màu và tất cả các đỉnh đều đ−ợc tô màu). Cho phép thực hiện 
các thao tác sau đây: Chọn hai đỉnh kề nhau bất kỳ (định nghĩa hai đỉnh liên tiếp) và thay 
màu hai đỉnh đó bằng hài màu còn lại. Chứng minh rằng bằng cách thực hiện thao tác trên 
một số lần ta luôn luôn làm cho các đỉnh của đa giác chỉ còn đ−ợc tô bởi hai màu. 
 Hết 
đề chính thức 
Đỗ Văn Lâm - Tr−ờng THCS TT Tân Uyên 
Đáp án 
Chú ý: Đáp án chỉ mang tính tham khảo 
Câu 1: (4,0 điểm) 
 1, Phân tích đa thức sau thành nhân tử: (x2 - 3x + 2)2 - 4x + 2 
 2, Chứng minh rằng: x2002 + x2000 + 1 chia hết cho x2 + x + 1 
Giải 
 1, Ta có: (x2 - 3x + 2)2 - 4x + 2 = x4 + 9x2 + 4 - 6x3 + 4x2 - 12x - 4x + 2 
 = x4 - 6x3 + 13x2 - 16x + 6 = x2(x2 - 2x + 3) - 4x(x2 - 2x + 3) + 2(x2 - 2x + 3) 
 = (x2 - 2x + 3)(x2 - 4x + 2) = (x2 - 2x + 3)(x - 2 + 2 )(x - 2 - 2 ) 
 2, x2002 + x2000 + 1 = x2000(x2 + x + 1) - (x2001 - 1) = x2000(x2 + x + 1) - [(x3)667 - 1] 
 = x2000(x2 + x + 1) - (x3 - 1).M(x) 
 = x2000(x2 + x + 1) - (x - 1)(x2 + x + 1).M(x) 
 = (x2 + x + 1)[(x2000 - (x - 1)M(x)] luôn chia hết cho đa thức (x2 + x + 1) 
Câu 2: (4,0 điểm) 
 1, Cho hai số d−ơng x, y có tổng bằng 1. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: 
 P = 2 2
1 11 1
x y
  
− −  
  
 2, Cho a, b, c > 0 thỏa m7n: ab + bc + ca = 3. Chứng minh rằng: 
 2 2 2 2 2 2
1 1 1 1
a b 1 b c 1 c a 1
+ + ≤
+ + + + + +
Giải 
 1, P = 
2 2 2
2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2
1 1 1 x y 1 (x y) 2xy 11 1 1
y x x y x y x y x y x y
+ + −
− − + = − + = − + 
 = 2 2 2 2 2 2 2 2
1 2xy 1 1 2 1 21 1 1
x y x y x y xy x y xy
−
− + = − + + = + 
 Vì x, y > 0 ⇒
2(x y) 1 1 2
x y 2 xy xy 4 8
4 4 xy xy
+
+ ≥ ⇒ ≤ = ⇒ ≥ ⇒ ≥ 
 ⇒P = 1 + 
2 9
xy
≥ . Dấu "=" xảy ra khi x = y = 1
2
 Vậy: Min P = 9 khi x = y = 
1
2
 2, áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki ta có: 
 (1 + a2 + b2)(1 + 1 + c2) ≥ (a + b + c)2 ⇔ 
2
2 2 2
1 2 c
1 a b (a b c)
+≤
+ + + +
 - T−ơng tự: 
2
3 3 2
1 2 a
1 b c (a b c)
+≤
+ + + +
 và 
2
2 2 2
1 2 b
1 c a (a b c)
+≤
+ + + +
 - Cộng vế với vế ta đ−ợc: 
2 2 2
2 2 2 2 2 2 2 2 2
1 1 1 2 c 2 a 2 b
a b 1 b c 1 c a 1 (a b c) (a b c) (a b c)
+ + +
+ + ≤ + +
+ + + + + + + + + + + +
 ⇔ 
2 2 2 2 2 2
2 2 2 2 2 2 2 2
1 1 1 a b c 6 a b c 2(ab bc ca)
a b 1 b c 1 c a 1 (a b c) (a b c)
+ + + + + + + +
+ + ≤ =
+ + + + + + + + + +
 ⇔ 
2
2 2 2 2 2 2 2
1 1 1 (a b c) 1
a b 1 b c 1 c a 1 (a b c)
+ +
+ + ≤ =
+ + + + + + + +
 Vậy: 2 2 2 2 2 2
1 1 1 1
a b 1 b c 1 c a 1
+ + ≤
+ + + + + +
Câu 3: (4,0 điểm) 
Đỗ Văn Lâm - Tr−ờng THCS TT Tân Uyên 
 Cho biểu thức A = 3 2 2
1 2x 2x
: 1
x 1 x x x 1 x 1
   
− −   
− + − − +   
 1, Rút gọn biểu thức A; 
 2, Với giá trị nào của x thì biểu thức A có giá trị d−ơng; 
 3, Tìm giá trị nguyên của x để biểu thức A có giá trị nguyên. 
Giải 
 1, ĐKXĐ: x ≠ 1. Khi đó 
 A = 
2
2 2 2
1 2x x 2x 1
:
x 1 x(x 1) (x 1) x 1
  − +
− 
− + − + + 
 = 
2 2 2 2
2 2 2 2
x 2x 1 x 2x 1 x 2x 1 x 1 1
: :(x 1)(x 1) x 1 (x 1)(x 1) x 2x 1 x 1
− + − + − + +
= =
− + + − + − + −
 2, Vì A > 0 
1 0 x 1 0 x 1
x 1
⇒ > ⇒ − > ⇒ >
−
. Vậy x > 1 thì A > 0 
 3, 
1A Z Z x 1
x 1
∈ ⇒ ∈ ⇒ − ∈
−
Ư(1) x {0; 2}⇒ ∈ 
Câu 4: (2,0 điểm) 
 Cho hình bình hành ABCD, gọi O là giao điểm của hai đ−ờng chéo AC và BD. Gọi M, N lần l−ợt 
là trung điểm của BO và AO. Lấy điểm F trên cạnh AB sao cho tia FM cắt cạnh BC tại E và tia FN cắt 
cạnh AD tại K. Chứng minh rằng: 
 1, 
BA BC
4
BF BE
+ = 2, BE + AK ≥ BC 
 Chứng minh 
 1, Từ A và C kẻ AP//EF và CQ//EF (P ∈ BD, Q ∈ BD) 
 - Xét ∆ OAP và ∆ OCQ có: 
 
 
OAP OCQ= (so le trong) 
 OA = OC (GT) 
 
 
AOP COQ= (đối đỉnh) 
 ⇒ ∆ OAP = ∆ OCQ (g.c.g) ⇒OP = OQ (1) 
 - Xét ∆ BAP có FM//AP +⇒ = ⇒ =BA BP BA BO OP
BF BM BF BM
 (2) 
 - Xét ∆ BQC có EM//CQ −⇒ = ⇒ =BC BQ BC BO OQ
BE BM BE BM
 (3) 
 - Từ (1), (2) và (3) 
+ −
⇒ + = + = =
BA BC BO OP BO OQ 2BO
4
BF BE BM BM BM
 - Vậy: +
BA BC
BF BE
 = 4 
 2, Vì F chạy trên AB, M và N là hai điểm cố định. 
 Gọi S là giao điểm của KE và AC ⇒ S thuộc OC 
 ⇒ SSAK ≥ SSCE⇒SSAK + SASEB ≥ SSCE + SASEB 
 ⇒ SABEK ≥ SABC ⇒ SBAK + SBKE ≥ SABC (gọi h là khoảng cách giữa BC và AD) 
 ⇒ 
1 1 1h.AK h.BE h.BC
2 2 2
+ ≥ ⇒ AK + BE ≥ BC 
 (dấu = xảy ra khi S trùng O ⇒ F là trung điểm của AB) 
Câu 5: (3,0 điểm) Kí hiệu các màu lần l−ợt là xanh (X), đỏ (Đ), vàng (V) 
 - Không mất tính tổng quát, giả sử tại thời điểm ban đầu, màu vàng đ−ợc tô ít nhất. 
 - Ta sẽ chỉ ra một cách thực hiện thao tác để chuyển tất cả các đỉnh của đa giác về màu đỏ hoặc xanh. 
 - Lúc này, ta chỉ quan tâm đến màu vàng và màu khác vàng, kí hiệu là K (khác vàng). 
 - Đánh số các đỉnh từ 1 đến n theo chiều kim đồng hồ. 
Q
P E
F
O
M
D C
BA
S
N
K
E
F
O M
D C
B
A
Đỗ Văn Lâm - Tr−ờng THCS TT Tân Uyên 
 - Nếu lúc đầu không có đỉnh nào đ−ợc tô V thì bài toán kết thúc. 
 - Ng−ợc lại thì tồn tại ít nhất một d7y các đỉnh đ−ợc tô V (d7y có thể có độ dài 1). Do tính nhỏ 
nhất nên d7y đỉnh này sẽ có độ dài không v−ợt quá 
n
3
 và phía tr−ớc hoặc phía sau của nó sẽ là một 
đỉnh đ−ợc tô màu K. 
 - Ta lại thấy rằng bằng cách thực hiện quy tắc đổi màu nh− đề bài liên tục trên d7y đỉnh này thì: 
KVVV...V → KKVV...V → KKKV...V → KKKK...V → ... → KKKK...K. 
 - áp dụng với tất cả các d7y, tất cả các đỉnh sẽ đ−ợc tô màu K, ta có đpcm.