Đề thi chọn học sinh giỏi cấp tỉnh năm học: 2014 - 2015 môn thi: Toán lớp 12 THPT

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
THANH HÓA
ĐỀ CHÍNH THỨC
 Số báo danh
.............................
KÌ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH
Năm học: 2014-2015
Môn thi: TOÁN
Lớp 12 THPT
 Ngày thi 24/03/2015.
Thời gian: 180 phút (không kể thời gian giao đề)
Đề này có 01 trang, gồm 05 câu.
Câu I (4,0 điểm) Cho hàm số: có đồ thị (C)
	 1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số đã cho.
	 2. Cho điểm A(0; a). Tìm điều kiện của a để từ điểm A kẻ được 2 tiếp tuyến tới
 đồ thị (C) sao cho 2 tiếp điểm tương ứng nằm về 2 phía của trục hoành.
Câu II (4,0 điểm)
 1. Giải phương trình: 
 2. Giải hệ phương trình: 
Câu III (4,0 điểm)
 1. Cho các số thực dương thỏa mãn . Chứng minh rằng :
 2. Tìm m để hệ có nghiệm thực. 
Câu IV (4,0 điểm)
 1. Từ các chữ số 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, ta lập được bao nhiêu số tự nhiên có 6 chữ 
 số, mà các chữ số đôi một khác nhau và trong đó hai chữ số kề nhau không cùng là 
 số lẻ?
2. Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy cho hình chữ nhật ABCD có điểm H(1;2) là hình chiếu vuông góc của A lên BD. Điểm là trung điểm của cạnh BC, phương trình đường trung tuyến kẻ từ A của ADH là : . Viết phương trình đường thẳng BC.
Câu V (4,0 điểm)
 1. Cho tứ diện có và . Gọi , theo thứ tự là bán kính mặt cầu ngoại tiếp và thể tích của tứ diện . Tính diện tích tam giác ABC theo và chứng minh rằng: 
Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz cho hai điểm và mặt phẳng (P) có phương trình: . Viết phương trình mặt phẳng đi qua hai điểm và tạo với mặt phẳng một góc nhỏ nhất.
..HẾT
Thí sinh không được sử dụng tài liệu. Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm.
SỞ GD&ĐT THANH HÓA
Hướng dẫn chấm
Đề chính thức
KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI TỈNH 
NĂM HỌC 2014 – 2015
Môn thi: TOÁN 
LỚP 12 THPT
(Hướng dẫn và biểu điểm chấm gồm 07 trang )
Câu
Ý
Nội dung
Điểm
I.
(4.0)
1.
(2.0)
 Khảo sát và vẽ đồ thị của hàm số 
 * Tập xác định: D 
0.25
 * Sự biến thiên: 
 , , ,
 Suy ra đồ thị hàm số có tiệm cận đứng x = 1, tiệm cận ngang y =1 .
0.25
0.25
0.25
 Bảng biến thiên
_ -
+ ¥ 
1
- ¥ 
x
–
y’
y
	1	+¥
1
	- ¥
Hàm số nghịch biến trên từng khoảng 
0.5
* Đồ thị : 
Đồ thị cắt trục tung tại điểm (0;-2), cắt trục hoành tại (-2;0).
Đồ thị nhận giao điểm của hai tiệm cận là I(1; 1) làm tâm đối xứng. 
0.5
2.
(2.0)
Tìm điều kiện của a để từ điểm A kẻ được 2 tiếp tuyến tới đồ thị (C) sao cho 2 tiếp
 điểm tương ứng nằm về 2 phía của trục hoành.
Xét thấy đường thẳng x = 0 đi qua A và không tiếp xúc với đồ thị (C)
Phương trình đường thẳng d đi qua và có hệ số góc k: 
	d là tiếp tuyến của (C) Û Hệ PT có nghiệm
0,25
 0.25
 Û PT: f(x) = (1) có nghiệm .
	Để qua A có 2 tiếp tuyến thì (1) phải có 2 nghiệm phân biệt khác 1
	Û 
0.25
0.25
Khi đó ta có: và 
Để 2 tiếp điểm nằm về 2 phía đối với trục hoành thì 
	Û Û 
0.25
0,25
 Û Û 
Kết hợp với điều kiện (*) ta được: .
0.25
0,25
II.
(4.0)
1.
(2.0)
Giải PT lượng giác: (1)
Điều kiện: .
0.25
PT Û	
 Û	
 Û	
 Û	
0.25
0.25
0.25
Û 
Û 
0.25
0.25
 Û 	. 
So sánh với đk, kết luận nghiệm pt là: 
0.25
0.25
2.
(2.0)
Giải hệ phương trình : 
2.00
Điều kiện: 
0.25
0.25
Xét hàm số với , ta có
0.25
Kết hợp với ta có 
Thay vào phương trình của hệ, ta được
, với .
0.25
0.25
 (vì với mọi thuộc TXĐ)
0.25
0.25
Với 
Với 
Thử lại ta thấy nghiệm của hệ phương trình đã cho là 
0.25
III.
(4.0)
1.
(2.0)
Cho các số thực và thỏa : CMR: 
Có nên 
trong đó và .
0.25
Khi đó 
0.25
0.25
0.25
0.25
Lại có theo Cauchy-Schazw thì 
(Vì )
0.25
Ta đi chứng minh 
0.25
Vậy BĐT (*) được chứng minh, dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi .
0.25
2.
(2.0)
Tìm m để hệ có nghiệm thực.
Có 
0.25
+) Điều kiện cần: 
Giả sử là một nghiệm của hệ thì 
Do đó là điều kiện cần để hệ đã cho có nghiệm.
0.25
0.25
+) Điều kiện đủ: , nên nếu hệ có nghiệm thì cũng là một nghiệm của hệ .
0.25
Xét hệ 
0.25
Thay vào (1) ta được 
0.5
Vậy là giá trị cần tìm.
0.25
IV.
(4.0)
1.
(2.0)
Có bao nhiêu số tự nhiên gồm 6 chữ số khác nhau trong đó hai chữ số kề nhau không cùng là số lẻ?
Gọi số đó là . Từ giả thiết suy ra A có 1 hoặc 2 hoặc 3 chữ số lẻ. 
0.25
TH1: A có 1 chữ số lẻ
+) lẻ: Số các số A là 
+) chẵn: Có 4 cách chọn . Số các số A là 
Tổng có: 600 + 2400 = 3000 số các số A trong đó có đúng một chữ số lẻ.
0.25
0.25
TH2: A có 2 chữ số lẻ
+) lẻ: Có 5 cách chọn . Có 5 cách chọn chẵn. 
Vậy số các số A là 
+) chẵn: Có 4 cách chọn . Có 6 cách chọn hai vị trí không kề nhau của hai số lẻ trong . Vậy số các số A là 
Tổng có: 9600 + 11520 = 21120 số các số A.
0.25
0.25
TH3: A có 3 chữ số lẻ
+) lẻ: Có 5 cách chọn . Có 5 cách chọn . Có 3 cách chọn hai vị trí không kề nhau của hai số lẻ trong .. Vậy số các số A là 
+) chẵn: Có 4 cách chọn . Có 1 cách chọn 3 vị trí không kề nhau của 3 số lẻ trong . Vậy số các số A là 
Tổng có: 10800 + 2880 = 13680 số các số A.
0.25
0.25
Tóm lại có: 3000 + 21120 + 13680 = 37800 số các số A.
0.25
2.
(2.0)
Viết phương trình cạnh BC
Gọi K là trung điểm của HD. 
Ta chứng minh . 
Thật vậy gọi P là trung điểm của AH.
Ta có PK song song và bằng nửa AD 
. 
Mà do đó P là trực tâm của tam giác ABK. BP
mà BPKM là hình bình hành nên KM song song BP 
0.25
0.25
0.25
0.25
 Phương trình đường thẳng KM: đi qua và vuông góc với AK: nên MK có pt: .
Do Toạ độ .
0.25
0.25
Do K là trung điểm của HD mà H(1; 2) nên D(0; 2) pt của BD: y – 2 = 0
AH đi qua H(1; 2) và vuông góc với BD nên AH có PT: x - 1 = 0 và A(1; 0). 
BC qua và song song với AD nên BC có PT là: 2x + y – 12 = 0.
0.25
0.25
V
(4.0)
1.
(2.0)
Tính dt(ABC), C/m : 
Ta có (1); 
0.25
Gọi h là độ dài đường cao kẻ từ S của hình chóp SABC ta có:(2)
0.25
Gọi diện tích tam giác ABC là dt(ABC) ta có: (3)
0.25
Từ (1), (2), (3) ta có 
0.25
Gọi I là tâm mặt cầu ngoại tiếp tứ diện 
 lần lượt là trung điểm của 
Khi đó 
0.25
Theo Côsi ta có: (4)
0.5
Từ (4) và (1) suy ra 
Vậy ta có điều phải chứng minh.
0.25
2.
(2.0)
Viết phương trình mặt phẳng đi qua hai điểm và tạo với mặt phẳng một góc nhỏ nhất
2.00
Mặt phẳng đi qua điểm nên có phương trình dạng 
Mà điểm cũng thuộc nên .
0.25
0.25
Một véctơ pháp tuyến của mặt phẳng 
Một véctơ pháp tuyến của mặt phẳng 
Gọi là góc tạo bởi hai mặt phẳng . Khi đó ta có
0.25
0.25
Thế vào ta được 
+) Nếu .
+) Nếu 
0.25
0.25
0.25
Vậy góc nhỏ nhất khi . Do đó phương trình mặt phẳng có dạng : .
0.25
Chú ý: 
1) Nếu học sinh làm bài không theo cách nêu trong đáp án nhưng đúng thì cho đủ số điểm từng phần như hướng dẫn quy định.
2) Việc chi tiết hóa (nếu có) thang điểm trong hướng dẫn chấm phải bảo đảm không làm sai lệch hướng dẫn chấm và phải được thống nhất thực hiện trong tổ chấm.
3) Điểm bài thi là tổng điểm không làm tròn.