Đề thi chọn học sinh giỏi cấp tỉnh môn: Toán 10 năm học: 2012 – 2013

SỞ GD & ĐT HÀ TĨNH
ĐỀ CHÍNH THỨC
KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH
Môn: Toán 10
Năm học: 2012 – 2013 
Thời gian làm bài: 180 phút
Ngày thi: 04/4/2013
Câu 1:
a) Giải bất phương trình 
b) Giải hệ phương trình 
Câu 2: Tìm tất cả các giá trị của tham số m để hệ sau có nghiệm: 
Câu 3: Trong mặt phẳng cho và các đường thẳng .
Viết phương trình đường tròn (C) có tâm I sao cho (C) cắt tại A và B , cắttại C và D thỏa mãn 
Câu 4:
a) Cho tam giác ABC có . Trung tuyến CM vuông góc với phân 
giác trong AL và . Tính tỷ số của và cosA.
b) Cho các số thực a và b thõa mãn: Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: 
Câu 5: Cho với a, b là các số nguyên. Biết rằng tồn tại các số nguyên đôi một phân biêt m, n, p mà 1 sao cho Tìm tất cả các bộ số 
 -------------------- Hết --------------------
HƯỚNG DẪN CHẤM ĐỀ THI HSG TĨNH MÔN TOÁN 10
Năm học 2012 – 2013 
Câu 1
a) giải bất ptrình 
Điều kiện: .
Bpt 
 do 2 vế dương )
Đối chiếu đk ta có nghiệm bất phương trình là .
b) Giải hệ 
Điều kiện: x .
Ta thấy nếu ( x; y ) = (0; 0 ) không phải là nghiệm của hê. Từ (1 ) 
Từ (2 ) ta có
+nếu x > 1 .
+ nếu x < 1 ( tương tự cm như trên ) hệ vn.
Vậy x = 1 thay vào (2 ) ta dễ dàng có y =1. 
vậy hệ dã cho có nghiệm duy nhất ( x : y) = ( 1 ; 1 )
Câu 2 Tìm tất cả các giá trị của tham số m để hệ sau có nghiệm : 
Hệ đã cho 
Gọi f ( y ) = my-y + m
Hệ có nghiệm có nghiệm y thõa mãn : 
+)nếu m = 0 hệ có nghiệm (x ; y ) = ( 0 ; 0 ) thõa mãn.
++)nếu : chú ý rằng ac = m> 0 nên không thể có 2 nghiệm trái dấu
 Thợp 2: ( 1) có 2 nghiệm 
Thợp 3: (1) có 2 nghiệm 
KL : hệ có nghiệm .
( Chú ý : Nếu để tránh định lý đảo về dấu tam thức bậc hai khi xét ( không có trong chương trình sách giáo khoa ) ta có thể đặt y = t+4 đưa về pt ẩn t có cả 2 nghiêm .)
Câu 3. Trong mặt phẳng 0.xy cho I( 2 ;4 ) và các đường thẳng .Viết phương trình đường tròn ( C ) có tâm I sao cho
( C ) cắt tại A và B , cắttại C và D thõa mãn 
Giải : ( Bạn đọc tự vẽ hình )
 ta có d. . Goi R là bán kính đường tròn .Gọi H và K là trung điểm của AB và CD ta có :
AB= 2AH = . CD = 2CK = Điều kiện đề bài trở thành : 
Ta có phương trình đường tròn là : 
Câu 4. (Bạn đọc tự vẽ hình )
1.Cho tam giác ABC có BC =a , CA = b, AB = c.Trung tuyến CM vuông góc với phân giác trong AL và .
Tính và cosA.
Giải: Gọi H = AL. Vẽ MK // AL . Ta dễ dàng nhận thấy tam giác CAM cân tại A nên CA = AM = MB c= 2b hay 
Ta có HL = AL= .
Áp dung công thức trung tuyến ta có CM= 
Áp dụng Pi ta go ta có: AH
 Nên 
Áp dụng định lý cos trong tam giác ABC ta có:
 Cos A = .
Nhận xét: bài này đáng ra không nên câu : “ tính ” vì kết quả này ‘tầm thường”
2. Cho các số thực a và b thõa mãn: ( 2+a )(1+b ) = Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: 
 P = 
Giải: Đặt 2b = x. Điều kiện bài toán trở thành : ( 2+ a) ( 2+x ) = 9.Ta cần tìm Min của 
P = . Theo bất đẳng Co si :
và 2+2 Cũng theo Co si
=2
Dấu “ = “ xẩy ra Vậy Min P = 
Câu 5. Cho f (x ) = với a,b là các số nguyên. Biết rằng tồn tại các số nguyên đôi một phân biêt m,n,p mà 1sao cho Tìm tất cả các bộ số (a;b)
Giải: Xét phương trình 
Theo đề ra (*) có ít nhất 3 nghiệm nguyên Nên ta suy ra (1) và (2 ) phải có 2 nghiệm nguyên ( dễ thấyNếu mỗi pt có một nghiệm nguyên thì nghiệm kia cũng nguyên )
 là các số chính phương. Không mất tính tổng quát giả sử 
m> 0 ,n > 0 
hoặc
Th1: (m;n ) = ( 15; 13) Khi đó các nghiệm của (1) là và các nghiệm của (2) là 
Do và tồn tại 3 giá trị nguyên đôi một phân biêt m,n,p mà 1
Th2: (m ; n ) = ( 9;5 ) Khi đó các nghiệm của (1) là và các nghiệm của (2) là 
Do và tồn tại 3 giá trị nguyên đôi một phân biêt m,n,p mà 1. Do xlà số nguyên lẻ .
Thử trực tiếp Ta có 4 cặp (a;b ) sau đây
(a;b) = (11;17 ) ứng với với có 3 nghiệm nguyên 1;3;8 thõa mãn bài toán
(a;b ) = ( 7;-1) ứng với với có 3 nghiệm nguyên 1;6;8 thõa mãn bài toán
Cặp ( a; b ) = ( 9;7 ) 
ứng với với có 3 nghiệm nguyên 2;7;9 thõa mãn bài toán
căp (a;b ) = ( 13;29) 
ứng với với có 3 nghiệm nguyên 2;4;9 thõa mãn bài toán.