Đề thi chọn học sinh giỏi cấp tỉnh Hòa Bình lớp 12 THPT, năm học 2013 - 2014 môn: Toán

UBND TỈNH HềA BèNH
SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
ĐỀ CHÍNH THỨC
ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH 
LỚP 12 THPT, NĂM HỌC 2013-2014
Mụn: Toỏn
Ngày thi: 25/12/2013
Thời gian làm bài: 180 phỳt
Cõu 1 (4 điểm).
	Cho hàm số cú đồ thị (C).
1/ Tỡm cỏc khoảng đơn điệu của đồ thị hàm số (C).
 2/ Tỡm k để đường thẳng cắt (C) tại hai điểm phõn biệt A và B sao cho A, B cỏch đều trục hoành.
Cõu 2 (6 điểm). 
	1/ Tỡm nghiệm xcủa phương trỡnh 
 2/ Giải phương trỡnh 
 	 3/ Giải hệ phương trỡnh:
Cõu 3 (4 điểm). 
 Cho hỡnh chúp cú đỏy là hỡnh thang (), là trung điểm của . Biết rằng tam giỏc đều cạnh 2a và nằm trong mặt phẳng vuụng gúc với đỏy, và khoảng cỏch từ tới mặt phẳng bằng . 
 1/ Tớnh khoảng cỏch từ tới mặt phẳng ().
 2/ Tớnh thể tớch khối chúp . 
Cõu 4 (4 điểm). 
 Trong mặt phẳng với hệ tọa độ cho tam giỏc nhọn ABC. Gọi E; F lần lượt là chõn đường cao hạ từ B và C. Biết đỉnh A(3; -7); trung điểm của BC là M(-2; 3); đường trũn ngoại tiếp tam giỏc AEF cú phương trỡnh là: . 
 1/ Tỡm tọa độ trực tõm của tam giỏc ABC.
 2/ Xỏc định tọa độ đỉnh B; C. 
Cõu 5 (2điểm). 
 Tỡm m để phương trỡnh sau cú nghiệm: 
----------------------- HẾT ------------------------
Cỏn bộ coi thi khụng giải thớch gỡ thờm
Họ, tên thí sinh: ..............................................................., SBD .......................................................
Họ, tên giám thị 1: ...........................................; Họ, tên giám thị 2: ................................................
HƯỚNG DẪN CHẤM MễN TOÁN
Cõu 
í
Nội dung
Điểm
Cõu 1
1
Tập xỏc định 
1,0
Vậy hàm số đồng biến trờn cỏc khoảng ; 
1,0
2
Xột pt hoành độ giao điểm 
 Biến đổi được về: 
Để pt (1) cú hai nghiệm phõn biệt thỡ (*)
1,0
Cỏc giao điểm , với ; 
Để A, B cỏch đều Ox thỡ (Loại trường hợp vỡ khi đú , mà A, B phõn biệt).
Sử dụng định lý Viet cho pt (1) ta được (Thỏa món (*)). KL.
0, 5
0,5
Cõu 2
1
Điều kiện xỏc định 
0,5
Biến đổi tương đương chuyển được về:
Giải ra tỡm được , thỏa món điều kiện. KL..
1,0
0,5
2
Giải phương trỡnh: 
Thay , đưa về:
1,0
+ Với cú cỏc nghiệm trong khoảng cần tỡm là .
+ , vụ nghiệm vỡ 
0,5
0,5
3
ĐK: 
(1) (3)
Xột hàm số trờn R, chỉ ra f(t) đồng biến trờn R.
PT (3) , thế vào (2) ta được pt 
Vậy hệ cú 2 nghiệm (0;1) và (1;5)
1,0
1,0
Cõu 3
1
Tỡm được tõm đt ngoại tiếp tam giỏc AEF: I(3; -4); bỏn kớnh R = 3.
Chỉ ra được tứ giỏc AEHF nội tiếp trong đường trũn đường kớnh AH.
Từ đú H đối xứng với A qua tõm I, tỡm được H(3; -1).
1,0
1,0
2
Đường thẳng BC qua M, vuụng gúc với AH, cú pt: y = 3.
Gọi B(b; 3) suy ra C(- 4 – b; 3)
Do H là trực tõm của tam giỏc nờn ta cú:
Giải ra tỡm được 	, từ đú tọa độ điểm B, C cần tỡm là:
 và .
1,0
0,5
0,5
Cõu 4
1
Kẻ SH vuụng gúc với AB, suy ra H là trung điểm của BC 
Tớnh được .
Theo gt , từ đú 
KL.
1,0
1,0
2
Chứng minh được , suy ra 
Mặt khỏc 
Xột tam giỏc SHC vuụng tại H, suy ra .
Tớnh được 
Thay số tớnh được (ĐVTT)
0,5
0,5
0,5
0,5
Cõu 5
Biến đổi pt: (1) 
Nhận thấy khụng là nghiệm của pt, chia hai vế cho
 (2) 
Đặt ; Xột 
 Xột 
Lập bảng bt của f(x) và chỉ ra được 
Xột ( với ); 
Xột 
 -2	-1	0	 1	3
 +	0 -
 - 0 +
 	 -2
2
Vậy m cần tỡm là
0,5
0,5
 0,5
0,5
Mọi lời giải đỳng đều được xem xột và cho điểm tương ứng.
	-----HẾT -----