PHềNG GIÁO DỤC VÀ éÀO TẠO THÀNH PHỐ THANH HểA THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP THÀNH PHỐ NĂM HỌC 2013 – 2014 - MễN TOÁN- LỚP 9 éề chớnh thức Thời gian làm bài: 150 phỳt (khụng kể thời gian giao đề) éề thi gồm cú: 01 trang Ngày thi: 03 thỏng 12 năm 2013 éỀ BÀI Bài 1 ( 5.0 điểm) Cho biểu thức P = a) Rỳt gọn rồi tớnh giỏ trị của P khi a = và b = b) Chứng minh rằng nếu thỡ P cú giỏ trị khụng đổi. Bài 2 ( 4.0 điểm) a) Tỡm giỏ trị của k để phương trỡnh ẩn x sau cú nghiệm õm b) Giải phương trình: Bài 3 ( 4.0 điểm) Cho a, b, c là độ dài ba cạnh của một tam giỏc cú chu vi bằng 2. Chứng minh a2 + b2 + c2 + 2abc < 2 Tỡm giỏ trị nhỏ nhất của biểu thức: A = Bài 4 ( 4.0 điểm) Cho tam giác ABC cân ( AB = AC , BAC < 450) . Lấy điểm D trên cạnh BC sao cho DC < DB. Qua D kẻ các đường thẳng song song với AB, AC lần lượt cắt AC, AB thứ tự tại M, N. Điểm H đối xứng với D qua đường thẳng MN. Gọi giao điểm của các đường thẳng AH và BC là I. a) Tứ giác ANMH là hình gì ? Chứng minh . b) Chứng minh tam giác IAB và tam giác IHC đồng dạng với nhau. Bài 5 ( 3.0 điểm) Cho hỡnh vuụng ABCD và điểm M bất kỳ trờn cạnh CD. Đường phõn giỏc của gúc ABM cắt AD tại N. Xỏc định vị trớ của điểm M để tỉ số lớn nhất. (HẾT) Phũng thi: ...............................Số bỏo danh: ................ Họ tờn thớ sinh: ....................................................... Họ tờn, chữ ký giỏm thị 1: ...................................................................................................................................... PHềNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO THÀNH PHỐ THANH HểA THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP THÀNH PHỐ NĂM HỌC 2013 – 2014 HƯỚNG DẪN CHẤM - MễN TOÁN- LỚP 9 Bài 1 (5.0 điểm) a) + Điều kiện: ab > 0 ; 0 ; 0 ; a b (0,5 điểm) + Rút gọn : P = (1,5 điểm) + Tính a = = (1,0 điểm) + Vì , do đó b = => b > 0 nên b2 = b2 = 114 – 2 . 7 = 100 mà b > 0 nên b = 10 Tính P = (1,0 điểm) b) + Từ => ab + a = ab + b => 2a = b Thay b = 2a vào P = Chứng tỏ P có giá trị không đổi. (1,0 điểm) Bài 2 ( 4.0 điểm) a) + Điều kiện: x -1 ( 0,25 điểm) + Biến đổi phương trình đã cho ta được x( k – 1) = k – 2 ( 1) ( 0,25 điểm) + Nếu k = 1 thì phương trình ( 1) vô nghiệm nên phương trình đã cho vô nghiệm. (0,25 điểm) + Nếu k 1 thì phương trình ( 1) có nghiệm x = . ( 0,25 điểm) Kết hợp với điều kiện thì x = là nghiệm của phương trình đã cho khi k 1,5 ( 0,25 điểm) Phương trình đã cho có nghiệm âm tức < 0, giải ta tìm được 1< k < 2. ( 0,25 điểm) + Vậy giá trị cần tìm của k là 1< k < 2 ; k 1,5 ( 0,5 điểm) b) + Điều kiện -1 x 3 (0,25 điểm) + Đặt y = ( điều kiện y 0) Khi đó y2 = 4 + 2 => 2 = y2 - 4 ( 1) ( điều kiện y2 4 ) (0,75 điểm) + Phương trình đã cho trở thành : 2y – (y2 - 4) = 4 y2 - 2y = 0 y( y - 2) = 0 y = 0 ; y = 2 Ta thấy y = 0 không thỏa mãn y2 4 - Loại (0,5 điểm) + Thay y = 2 vào (1) 2 = 22 - 4 ( x + 1) ( 3 – x) = 0 Ta thấy x = - 1 ; x = 3 thỏa mãn điều kiện. Đáp số: x = -1 ; x = 3 ( 0,5 điểm) Bài 3 ( 4.0 điểm) a) + Vì a, b, c là độ dài các cạnh của tam giác, không mất tính tổng quát giả sử a b c > 0 , ta có: a 2a a b < 1 , c < 1 (0,5 điểm) => (1 – a) (1 – b) (1 – c) > 0 => ab + bc + ca > 1 + abc (1) (0,5 điểm) + Mặt khác ( a + b + c)2 = a2 + b2 + c2 + 2(ab + bc + ca) => 4 = a2 + b2 + c2 + 2(ab + bc + ca) (2) (0,5 điểm) + Từ (1) (2) 4 > a2 + b2 + c2 + 2( 1 + abc ) => a2 + b2 + c2 + 2abc < 2 (ĐPCM) (0,5 điểm) b) + Điều kiện: x - 1 Đặt x2 + 2x + 1 = (x + 1)2 = y => y > 0. Khi đó A = = = y + + 10 ( 1,0 điểm) + Ta thấy A đạt giá trị nhỏ nhất khi y + đạt giá trị nhỏ nhất. Vì y > 0 => > 0 mà y. = 16 không đổi, nên y + đạt giá trị nhỏ nhất khi y = . Tính được y = 4 (vì y > 0 ) (0,5 điểm) + Do đó x2 + 2x + 1 = 4 => x2 + 2x - 3 = 0 => ( x + 3) ( x – 1) = 0 => x = - 3 ; x = 1 Khi đó min A = 4 + + 10 = 18 Đáp số: min A = 18 x = - 3 ; x = 1 (0,5 điểm) Bài 4 ( 4.0 điểm) a) + Gọi K là giao điểm hai đường chéo của tứ giác ANDM. Gọi G là giao điểm của DH và MN . Nối NH. ( 1,0 điểm) + Chứng minh được ANMH là hình thang . ( 1,0 điểm) + Chứng minh được ANMH là hình thang cân. ( 1,0 điểm) b) + Vì ANMH là hình thang cân => NAH = MHA Chứng minh được ΔMDC cân tại M => C1 = D1 = B => C1 + C2 + NAH = B + H2 + MHA Chứng minh được ΔMCH cân tại M => C2 = H2 ( 0,5 điểm) + Chứng minh được BAI = HCI . ( 0,25 điểm) + Xét Δ IAB và Δ ICH có I chung , BAI = HCI , K F C E M D N B A nên tam giác IAB đồng dạng với tam giác ICH. ( ĐPCM) ( 0,25 điểm) Bài 5 ( 3.0 điểm) + Kẻ MF BN ( F BN ) , MF cắt AB tại K. Kẻ AE // KM ( E CD ) . (1,0 điểm) + Chứng minh được ΔABN =ΔDAE ( g.c.g) => BN = AE Chứng minh được AEMK là hình bình hành => AE = KM. ( 0,5 điểm) + Vì BF vừa là phân giác, vừa là đường cao nên ΔKBM cân tại B => MF = KM => MF = BN ( 0,5 điểm) + Ta có MF MN => BN MN => Dấu bằng xảy ra khi MN = MF N F mà F là trung điểm của KM, suy ra N là trung điểm của AD. Khi đó chứng minh được => MD = ND => MD = CD ( 0,5 điểm) + Vậy vị trí cần tìm của điểm M là điểm M nằm trên cạnh CD sao cho , khi đó tỉ số lớn nhất bằng 2. ( 0,5 điểm) (hết) Lưu ý: - Các cách giải khác đúng cho điểm tương đương. - Nếu không vẽ hình hoặc vẽ sai bài 4, bài 5 thì không chấm điểm.
Tài liệu đính kèm: