Đề thi chọn học sinh giỏi cấp huyện năm học 2016 – 2017 môn thi: Toán học lớp 9

PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO 
HUYỆN TRƢƠNG QUANG AN 
------------------------------ 
ĐỀ THI CHÍNH THỨC 
KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP HUYỆN 
NĂM HỌC 2016 – 2017 
Môn thi: Toán – Lớp 9 
Thời gian: 150 phút (không kể thời gian giao đề) 
Ngày thi: 08/12/2016 
Câu 1. (4,0 điểm): Cho biểu thức 
3 9 3 1 1 1
2 :
12 1 2
x x
A
xx x x x
  
    
    
 1) Tìm điều kiện của x để biểu thức A có nghĩa. 
 2) Rút gọn biểu thức A. 
 3) Tìm giá trị của x để 
2
A
 là số tự nhiên. 
Câu 2. (4,0 điểm): 
 1) Giải phương trình: 2 10 27 6 4x x x x      
 2) Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của biểu thức: 
2
1
1
x
A
x x


 
Câu 3. (4,0 điểm): Cho hai đường thẳng: y = x + 3 (d1); y = 3x + 7 (d2) 
 1) Gọi A và B lần lượt là giao điểm của (d1) và (d2) với trục Oy. Tìm tọa độ trung 
điểm I của đoạn thẳng AB. 
 2) Gọi J là giao điểm của (d1) và (d2). Tam giác OIJ là tam giác gì? Tính diện tích của 
tam giác đó. 
Câu 4. (6,0 điểm): 
 Cho đường tròn (O;R) đường kính AB. Gọi M là điểm nằm giữa A và B. Qua M vẽ 
dây CD vuông góc với AB, lấy điểm E đối xứng với A qua M. 
 1) Tứ giác ACED là hình gì? Vì sao? 
 2) Gọi H và K lần lượt là hình chiếu của M trên AB và AC. Chứng minh rằng: 
4
HM MK CD
HK MC R
  
 3) Gọi C’ là điểm đối xứng với C qua A. Chứng minh rằng C’ nằm trên một đường 
tròn cố định khi M di chuyển trên đường kính AB ( M khác A và B). 
Câu 5. (2,0 điểm): 
 Cho a, b, c là ba số dương thỏa mãn: a + b + c = 1. Chứng minh rằng: 
2
c ab a bc b ac
a b b c a c
  
  
  
---------HẾT--------- 
 PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO 
HUYỆN TRƢƠNG QUANG AN 
------------------------------ 
HƢỚNG DẪN CHẤM 
ĐỀ THI CHÍNH THỨC 
KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP HUYỆN 
NĂM HỌC 2016 – 2017 
Môn thi: Toán – Lớp 9 
Thời gian: 150 phút (không kể thời gian giao đề) 
Ngày thi: 08/12/2016 
Câu Ý Lời giải Điểm 
1 
(4,0đ) 
1 
(0,5đ) Điều kiện: 
0
1
x
x



0,5 
2 
(2,0đ) 
  
 
  
  
  
 
2
3 9 3 1 1 1
2 :
12 1 2
3 2
 = 1
1 2
1 2
 = 1 1
1 2
 = 1
x x
A
xx x x x
x x
x
x x
x x
x x
x x
x
  
    
    
 
 
 
 
  
 

0,5 
0,5 
0,5 
0,5 
3 
(1,5đ) Với điều kiện: 
0
1
x
x



Ta có: A =  
2
1x  
Vì A =  
2
1x  ≥ 1 với mọi x ≥ 0 nên 0 ≤ 
 
2
2
1x 
 ≤ 2 
Do đó: 
 
2
2 2
1A x
 

khi  
2
1x  = 1 hoặc  
2
1x  = 2 
Mà 1x  > 0 nên 1x  =1 hoặc 1x  = 2 
Do đó: 0x  hoặc  
2
2 1 3 2 2x     
Vậy 
2
A
là số tự nhiên khi 0x  hoặc 3 2 2x   
0,5 
0,5 
0,5 
2 
(4,0đ) 
1 
(2,0đ) 
Giải phƣơng trình: 2 10 27 6 4x x x x      
Điều kiện: 4 ≤ x ≤ 6 
 
22 10 27 5 2 2VT x x x       , dấu “=” xảy ra 5x  
     
2 2
2 26 4 1 1 6 4 2VP x x x x VP           
  
, 
dấu “=” xảy ra 
1 1
6 4 5
6 1
x x x
x x
       
 
0,5 
0,5 
0,5 
5VT VP x   (TMĐK). Vậy nghiệm của phương trình là 5x  0,5 
2 
(2,0đ) 
Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của biểu thức: 
2
1
1
x
A
x x


 
Ta có: 
2
2 1 31 0,
2 4
x x x x
 
        
 
2 2 2
2 2 2
1 1
1 1
1 1 1
x x x x x
A
x x x x x x
   
    
     
 (vì 
2
2
0,
1
x
x
x x
  
 
) 
Đẳng thức xảy ra khi x = 0, suy ra: maxA = 1 khi x = 0 
 2 2
2 2 2
4 4 11 3 3
3
1 1 1
x x x xx x
A A
x x x x x x
     
   
      
 
2
2
2
 = 1 1
1
x
x x

  
 
 (vì 
 
2
2
2
0,
1
x
x
x x

  
 
) 
Suy ra: 
1
3
A   , đẳng thức xảy ra khi 2 0 2x x     
Suy ra: minA = 
1
3
 , khi 2x   
0,25 
0,5 
0,25 
0,5 
0,25 
0,25 
3 
(4,0đ) 
1 
(1,5đ) 
Tìm được A(0;3); B(0;7) 
 Suy ra I(0;5) 
1,0 
0,5 
2 
(2,5đ) 
Hoành độ giao điểm J của (d1) và (d2) là nghiệm của PT: x + 3 = 3x + 7 
x = – 2  yJ = 1 J(-2;1) 
Suy ra: OI
2
 = 0
2
 + 5
2
 = 25; OJ
2
 = 2
2
 + 1
2
 = 5; IJ
2
 = 2
2
 + 4
2
 = 20 
OJ2 + IJ2 = OI2  tam giác OIJ là tam giác vuông tại J 
 OIJ
1 1
.OJ 5 20 5
2 2
S OI      (đvdt) 
0,5 
0,5 
0,5 
0,5 
4 
(4,0đ) 
1 
(2,0đ) 
Vì CD  AB  CM = MD 
Tứ giác ACED có AE cắt CD tại trung điểm của mỗi đường nên là hình 
bình hành 
Mà AE  CD  tứ giác ACED là hình thoi 
0,5 
0,5 
0,5 
0,5 
2 
(2,0đ) 
Vì tam giác ABC có AB là đường kính (O) nên ∆ABC vuông tại C, suy ra 
tứ giác CHMK là hình chữ nhật 
Áp dụng hệ thức lượng vào các tam giác vuông ta có: 
0,5 
MH.AC = MA.MC MH = 
MA.MC
AC
Tương tự ta có: MK = 
MB.MC
BC
MH.MK = 
2MA.MB.MC
AC.BC
Mà MA.MB = MC
2; AC.BC = MC.AB (do ∆ABC vuông tại C) 
MH.MK = 
2 2 3
2
MC .MC MC MH.MK MC
= =
MC.AB AB MC AB
 
Mà MC = MK ( do CHMK là hình chữ nhật) 
MH.MK MC 2MC CD
= = =
HK.MC AB 2AB 4R
 
Vậy: 
HM MK CD
=
HK MC 4R
 (đpcm) 
0,5 
0,5 
0,5 
3 
(2,0đ) 
Lấy O’ đối xứng với O qua A, suy ra O’ cố định. 
Tứ giác COC’O’ là hình bình hành vì có hai đường chéo cắt nhau tại trung 
điểm A của mỗi đường. 
Do đó O’C’ = OC = R không đổi 
Suy ra C’ nằm trên đường tròn (O’;R’) cố định khi M di chuyển trên đường 
kính AB. 
0,5 
0,5 
0,5 
0,5 
5 
(2,0đ) 
 Vì a + b + c = 1 nên 
c + ab = c(a + b + c) + ab = (c + a)(c + b) 
a + bc = a(a + b + c) + bc = (b + a)(b + c) 
b + ac = b(a + b + c) + ac = (a + b)(a + c) 
nên BĐT cần chứng minh tương đương với: 
        
        
2 2 2
 2
2
c a c b b a b c a b a c
a b a c b c
c a c b b a b c a b a c
a b a c b c
     
  
  
           
        
       
Mặt khác dễ thấy: 2 2 2x y z xy yz zx     , với mọi x, y, z (*) 
Áp dụng (*) ta có: 
2VT b c a b c a       
Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi a = b =c = 
1
3
  đpcm 
0,5 
0,5 
0,5 
0,5 
Chú ý: 
 1) Nếu thí sinh làm bài không làm bài theo cách nêu trong đáp án nhƣng đúng thì 
cho đủ số điểm từng phần nhƣ hƣớng dẫn quy định. 
 2) Bài hình không vẽ hình thì không chấm điểm. 
Kính chào tạp chí toán tuổi thơ ! 
Tôi tên là :Trương Quang An 
Vừa rồi ngày 4-1-2016 tôi có nhận được 1 giấy mời ra Hà Nội nhân diệp tạp chí toán 
tuổi thơ 15 năm tuổi .Bản thân tôi và gia đình rất vui và thấy đây là một vinh dự 
nhưng hoàn cảnh gia đình quá khó khăn .Tôi đi làm lương quá thấp ,dạy hợp đồng 
,vợ tôi đi làm công nhân ở xa .sáng đi 5h sáng ,chiều 8h mới về nhà .Vợ tôi làm thì 
tháng nào có sản phẩm thì có lương ,không có sản phẩm làm thì tháng đó không có 
lương ,một tháng được 2 triệu /tháng .Hai vợ chồng làm không đủ trang trải cho cuộc 
sống hằng ngày .Tôi học toán-tin và chỉ dạy tin học .Thời gian làm thêm phụ gia đình 
nhiều để có tiền trang trải cuộc sống .Cha tôi ngày xưa làm phụ hồ ,làm thuê làm 
mướn cho người ta ,mẹ tôi đi rửa chén thuê cho các nhà quán ăn .Tôi đam mê toán 
học khi là học sinh cấp 1 .Tôi rất nghèo nhưng niềm đam mê toán học trong tôi rất 
lớn dù tôi có hoạt đông bên lĩnh vực khác .Tôi xin chân thành cảm ơn tạp chí đã có 
thư mời tôi ra Hà Nội nhé .Tiền tàu xe đi và về ,ăn ở bản thân tôi lo không nổi nên 
không thể ra dự với tạp chí .Năm ngoái tôi không ra Đà Nẵng dự hội thảo được ,năm 
nay lại thất hứa .Xin lỗi tạp chí TOÁN TUỔI THƠ ,tuy nhiên tôi xin chúc tạp chí 
luôn phát triển mạnh mẽ và có nhiều người đam mê toán học nhé .Tôi xin hứa là sẽ 
thường xuyên viết bài và gởi bài cho tạp chí toán tuổi thơ và tạp chí toán học& tuổi 
trẻ 
Tôi rất buồn .Xin chân thành ghi nhận tấm lòng của tạp chí 
 Tên : Trương Quang An 
 Ngày sinh :20-5-1987 
Tốt nghiệp cao đẳng sư phạm toán quảng Ngãi năm 2009 
 Ra trường đi xin việc khắp mọi nơi vào cuối năm 2011 mới xin hợp đồng làm 
việc giảng dạy toán cho 1 trường cấp 2 
Nhà hiện nay ở Thành Phố Quảng Ngãi 
Thành tích lúc đi học : 
Lớp 8 : Học sinh đạt giải nhì học sinh giỏi toán cấp thị xã Quảng Ngãi 
Lớp 9 : Học sinh đạt giải ba học sinh giỏi toán cấp thị xã Quảng Ngãi 
Lên cấp 3 học Trường Cấp 3 Chuyên Lê Khiết 
Năm 2005 thi đại học sư phạm Quy Nhơn đạt 24 điểm , tôi phải xa giảng 
đường đại học vì mẹ tôi đau quá nặng ,gánh nặng cơm áo gạo tiền mà tôi phai chia 
tay đại học .Sau đó tôi về quê nhà học cao đẳng sư phạm Quảng Ngãi 
3 năm học tại đây tôi là sinh viên giỏi nhất khoa về Toán học .Các Thành tích : 
- Giải nhất toán lý sơ cấp 3 năm học 2006,2007,2008 
-Ba năm giải nhất môn giải tích trong kỳ thi ÔLIMPIC TOÁN SINH VIÊN cấp 
trường Cao Đẳng Sư Phạm Quảng Ngãi năm học 2006 ,2007,2008 
 -Trong 3 lần đại diện cho trường thi ÔLIMPIC TOÁN SINH VIÊN Toàn quốc 
thì 1 lần đạt giải ba ,1 lần giải khuyến khích . 
-Ba năm liền đạt giải nhất trong kỳ thi sinh viên giải toán trên máy tính casio 
cấp trường . 
-Sinh viên đầu tiên của trường cao đẳng sư phạm được đăng đề trong mục đề ra 
kỳ này của tạp chí toán học tuổi trẻ 
-Sinh viên đầu tiên của trường cao đẳng sư phạm được đăng bài trong mục 
chuyên đề của đặc san tạp chí toán học tuổi trẻ 
-Giáo viên đầu tiên của tỉnh Quảng Ngãi được đăng bài trên đặc san tạp chí 
toán học và tuổi trẻ 
 -Hiện nay sáng dạy ở trường vì đồng lương quá thấp nên đi dạy kém khắp 
nơi đề kiếm thêm tiền để trang trải cuộc sống hằng ngày và phụ giúp cha mẹ nghèo ở 
quê Quảng Ngãi 
-Bản thân là người rất đam mê môn toán từ khi tôi còn là học sinh lớp 7 , hiện 
nay tôi thường giải các bài tập khó và dạy kèm cho các học sinh có nhu cầu vào 
chuyên toán 
-Hiện nay bản thân muốn học lên đại học nhưng có lẻ ước mơ đó của tôi không 
thành hiện thức vì chuyện tiền bạc va gia đình hoàn cảnh 
-Những giáo viên yêu toán nếu có nhu cầu giải các bài toán khó và giao lưu 
học hỏi 
-Xóm tôi bình thường lắm ,bọn nhỏ ngây thơ ,ngộ nghĩnh đáng yêu .Hằng ngày 
bọn trẻ xóm tôi thường nhờ tôi giúp các bài toán khó .Tôi đến với tạp chí toán học 
tuổi trẻ khi tôi còn là một học sinh lớp 7 .Mười sáu năm qua tôi đã coi tạp chí như 
một người bạn quen thuộc mà tôi mong đợi vào ngày 15 hằng tháng .Ban đầu tôi 
thích thú tò mò tìm thêm tài liệu ,sau nay cố gắng giải các bài tập trong chuyên mục 
đề ra kỳ này .Trong 16 năm qua tạp chí đã cho tôi được tiếp xúc với các bài toán rất 
hay ,chuyên đề hay .Ba năm học cao đẳng là thời gian đẹp nhất cuộc đời tôi .Tôi bước 
vào sư phạm toán với nền tảng kiến thức vô cùng tốt .Ngay tôi được tạp chí đăng 1 
bài trên chuyên mục đề ra kỳ này tôi rất vui sướng ,không tả nỗi .Đó là thời điểm năm 
2008 ,khi đó tôi chỉ là 1 sinh viên nghèo của trường ,điều kiện học tập không có ,sinh 
viên cao đẳng như tôi viết bài cho 1 tạp chí toán học là điều viễn vông ,đó là sư thật 
.Nhưng tôi không nản lòng và cuối cùng tôi cũng đạt được ước mơ của tôi .Những 
ngày đó thật khó khăn ,tôi chỉ ghi bài giải trên giấy A4 rồi đem thư ra bưu điện gởi 
.Cách đây 1 năm thì có chị họ làm quán PHÔ T Ô COPPY bán lại một chiếc máy 
tính đề bàn cũ ,tôi mua với giá 500 ngàn ,vui lắm các bạn ,thế là từ nay có thể đánh vi 
tinh các bài toán mà minh suy nghĩ và sưu tầm ,sau khi hoàn thiện tôi chạy ra quán 
PHÔ T Ô COPPY để gởi vì nhà không có mạng INTERNET .Có lẽ tôi sẽ gục ngã 
trước cuộc sống nghèo khổ và thiếu tiền bạc nếu như tôi không có niềm đam mê toán 
học .Tôi nhớ mãi năm 2008khi cầm trên tay tờ báo có đăng bài của minh tôi đã vui 
run luôn ,tôi ra bưu điện mua báo toán ,trên kệ báo còn đúng 1 tờ ,đọc và thấy tên 
mình và tôi đã lên xe đạp cà tàng của sinh viên đạp nhanh nhanh về nhà ,thật nhanh 
,tôi không biết tôi đã qua mấy ngã tư nữa ,chỉ biết đạp thật nhanh .Mấy tháng sau có 
thư nhận tiên nhuận bút 120.000 ,đối với 1 đứa sinh viên nghèo như tôi đó là số tiền 1 
tháng đề ăn sáng đi học ,vui lắm các bạn ak .Sinh viên qua nhanh ,ra trương vì hoàn 
cảnh cha mẹ đau và không có tiền,không nơi nào nhận mình vào dạy học ,mình đã đi 
chạy bàn cà phê,chạy bàn đám cưới cho nhà hàng ,mình đi dạy kèm khắp nơi ,có khi 
phải đi chạy xe ôm nhưng khi rảnh mình thường lấy tạp chí toán học ra xem .Tạp chí 
như một phần trong cơ thể mình ,rồi sau 4 năm chạy việc khắp nơi tôi cũng xin được 
hợp đồng cho 1 trường cấp 2 để dạy toán . Nhà tôi hiện nay sách toán rất nhiều ,16 
năm qua tôi đã có trong tay khoảng 451 số báo toán học ,mua có ,tôi mượn báo để 
phô tô cũng có .Hồi xưa khi tới ngày 15 hằng tháng tôi thường ra bưu điện đề mua ,từ 
nhà đạp xe đạp ra ,tới nơi mệt nhưng khi mua được báo là tôi vui lắm .Vào năm 2014 
thì đi làm cuộc sống cũng đỡ khó khăn thì tôi mạnh dạn dành tiên lên bưu điện đặt 
báo để nhân viên giao tận nhà luôn .Qua thời gian tôi cung mua được chiếc xe máy cũ 
đề đi làm .Qua nhũng tâm sự này tôi muốn các bạn yêu toán mà có điều kiện hơn tôi 
hãy cố gắng lên nhé ,hãy đặt mua tạp chí toán học ,hãy viết bài cho tạp chí .Tiền 
trong cuộc sống không là gì ,nếu chúng ta cố gắng và có ý chí thì chúng ta sẽ thành 
công .Tôi hiện nay có 2 ước mơ ,thứ nhất được ra thăm toán chí toán học tuổi trẻ 1 
lần cho biết ,năm ngoái được tạp chí toán học tuổi thơ mời ra dự buổi hội thảo toán 
học ở Đà Nẵng nhưng do công việc và cha mẹ đau nặng tôi đã không ra .Thứ 2 mong 
được học lên đại học hệ chính quy .Mặc dù ở quê tôi có dạy hệ tại chức ,nhưng tôi 
thích học chính quy hơn ,ước mơ đó có thể với mọi người rất đơn giản nhung với 
mình khó vì gia đình ,cha mẹ ,tiền bạc phải mưu sinh vì cuộc sống hằng ngày . Trên 
toàn quốc ,nếu trường nào cần giáo viên như tôi thì liên hệ số điện thoại 
01208127776 .Không biết tạp chí toán học có tuyển một cộng tác viên trình độ cao 
đẳng như tôi không .Lương hợp đồng 15.000đ/tiết quá thấp ,tôi không sống được 
bằng nghề sư phạm , 
 Một ngƣời đam mê Toán và tạp chí toán học và tuổi trẻ , 
 tạp chí toán tuổi thơ 
 Nghĩa Thắng ,Tƣ Nghĩa ,Quảng Ngãi 
 Trƣơng Quang An