Đề thi chọn học sinh giỏi cấp huyện môn Toán Lớp 9 - Năm học 2015-2016 - Phòng GD & ĐT Yên Định (Có đáp án)

PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
 HUYỆN YÊN ĐỊNH
ĐỀ THI CHÍNH THỨC
ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI LỚP 9 CẤP HUYỆN
NĂM HỌC 2015 - 2016
Môn thi: Toán
Thời gian: 150 phút (không kể thời gian giao đề)
Ngày thi: 23/02/2016
(Đề thi này gồm 05 bài trong 01 trang)
Bài 1 (4 điểm)	Cho biểu thức 
a/ Rút gọn biểu thức P
b/ Tìm x để biểu thức có giá trị nguyên 
Bài 2 (4 điểm)
a/ Giải phương trình 
b/ Giải hệ phương trình: 
Bài 3 (4 điểm) 
a/ Cho đường thẳng (d): với m là tham số. Tìm m để khoảng cách từ gốc tọa độ đến đường thẳng (d) là lớn nhất.
b/ Tìm tất cả các bộ ba số nguyên dương (x; y ; z) thỏa mãn: xyz = x2 - 2z + 2
Bài 4 (6 điểm) Cho tam giác ABC cân tại A. Vẽ đường tròn có tâm O thuộc cạnh BC và tiếp xúc với các cạnh AB, AC lần lượt tại D, E. Gọi I là điểm chuyển động trên cung nhỏ DE (I khác D, E). Tiếp tuyến của đường tròn tại I cắt các cạnh AB, AC lần lượt tại M và N.
a/ Chứng minh rằng chu vi tam giác AMN không đổi.
b/ Chứng minh 
c/ Xác định vị trí điểm I trên cung nhỏ DE để tam giác AMN có diện tích lớn nhất.
Bài 5 (2 điểm) Cho x, y là các số dương thay đổi thỏa mãn x + y = 1. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức 
 Hết 
Họ tên thí sinh:................................. Số báo danh:................. Giám thị không giải thích gì thêm
PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
HUYỆN YÊN ĐỊNH
 HƯỚNG DẪN CHẤM
THI HỌC SINH GIỎI LỚP 9 CẤP HUYỆN
NĂM HỌC 2015 - 2016
Môn thi: Toán
Ngày thi:23 /02/2016
(Hướng dẫn chấm này gồm 05 trang)
Bài
Câu
NỘI DUNG
Điểm
1
(4,0đ)
a
2điểm
ĐKXĐ: 
Ta có 
Vậy với thì 
0,5
0,75
0,5
0,25
b
2điểm
 Với ta có
 ( Dấu = không xảy ra vì )
Vì có giá trị nguyên nên 
Giải pt(1) ta được t/m ĐKXĐ
Vậy thì có giá trị nguyên
0,75
0,5
0,25
0,25
0,25
2
(4,0
đ)
a
2điểm
 (1)
Ta có x= 0 không là nghiệm của phương trình (1)
Nên 
Đặt pt trở thành 
Với pt vô nghiệm
Với . 
Giải pt ta được 
Vậy nghiệm pt 
0,5
0,5
0,5
0,25
0,25
b
2điểm
Đk: 
 (vì )
Thế vào pt thứ hai ta được 
Vậy nghiệm hpt 
0,75
0,25
0,25
0,75
Bài 3
a
2điểm
(d): 
+ Với m= 2, ta có đường thẳng (d): y=1
Do đó khoảng cách từ O đến (d) là 1 (1)
+ Với m=1, ta có đường thẳng (d): x=-1
Do đó khoảng cách từ O đến (d) là 1 (2)
+ Với 
Gọi A là giao điểm của đường thẳng (d) với trục tung
Gọi B là giao điểm của đường thẳng (d) với trục hoành
Gọi h là khoảng cách từ O đến đường thẳng (d). Ta có
 khi (3)
Từ (1),(2) và (3) suy ra khi 
0,25
0,25
0,25
0,25
0,5
0,25
0,25
b
2điểm
 Với x, y , z là các số nguyên dương. Xét phương trình
xyz = x2 – 2z + 2 là số nguyên dương
+ Nếu x = y thì z = 1. Khi đó nghiệm pt (x,y,z)= ( m ;m; 1) với m là số nguyên dương bất kì 
+ Nếu x < y thì z < 1 (không thỏa mãn đề bài)
+ Nếu x > y thì x2 + 2 > xy +2
Vì z là số nguyên dương nên x2 + 2xy + 2
 y(x2 + 2) xy + 2 x(xy + 2) -2(x – y) xy + 2
 2(x – y) xy + 2	
Do đó tồn tại số nguyên dương k sao cho 2(x – y) = k(xy + 2)
Nếu k 2 thì x – y xy + 2 (x + 1) (y – 1) + 3 < 0(vô lý)
Nếu k = 1 thì 2(x – y) = xy + 2 (x + 2) (y – 2) = - 6	
Vì x; y nguyên dương nên y = 1 ; từ đó x = 4 ; z = 3
Vậy (x ;y ;z)= ( m ;m ; 1) với m là số nguyên dương tùy ý và (x ; y ; z) = (4 ; 1 ; 3) thỏa mãn phương trình
0,5
0,25
0,25
0,5
0,5
Bài 4
a
2điểm
Vì ,(O) tiếp xúc với AB,AC và cân tại A O là trung điểm của BC
D cố định
AD không đổi
Chu vi tam giác AMN là
 không đổi
0,5
1,5
b
2điểm
Ta có 
Vì cân tại A 
Mặt khác và 
 và 
0,5
0,5
0,5
0,5
c
2điểm
Ta có lớn nhất khi nhỏ nhất
 với R là bán kính đường tròn tâm O
 Vì BD=CE
Vì R và BD không đổi nên nhỏ nhất khi BM+CN nhỏ nhất
Lại có không đổi tổng BM+CN nhỏ nhất . Khi đó MN//BCI là điểm chính giữa của cung DE
0,5
0,5
0,5
0,5
Bài 5
2điểm
Từ giả thiết x+y=1, ta có 
Đặt với 
Vì 
Dấu = xảy ra khi 
Vậy khi 
0,25
0,5
0,5
0,5
0,25
Lưu ý: Học sinh làm cách khác đúng vẫn được điểm tối đa
 Bài hình học sinh có thể sự dụng kiến thức tứ giác nội tiếp đường tròn.