Đề thi chọn học sinh giỏi cấp huyện môn Toán Lớp 9 - Năm học 2014-2015 - Phòng GD & ĐT Yên Định (Có đáp án)

UBND HUYỆN YÊN ĐỊNH
PHÒNG GD&ĐT YÊN ĐỊNH
ĐỀ CHÍNH THỨC
(Đề thi gồm 01 trang)
ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI LỚP 9 - KỲ THI HỌC SINH GIỎI CẤP HUYỆN NĂM HỌC 2014-2015
MÔN THI: Toán
Ngày thi: 04 /02/2015
Thời gian: 150 phút (Không kể thời gian giao đề)
	Bài 1 (4 điểm)	
a/ Rút gọn biểu thức với 
b/ Tính giá trị biểu thức với 
Bài 2 (4 điểm)
a/ Giải phương trình 
b/ Giải hệ phương trình: 
Bài 3 (4 điểm) 
a/ Giải phương trình nghiệm nguyên 
b/ Tìm các số nguyên dương x, y sao cho là một số nguyên
Bài 4 (6 điểm) Cho tam giác ABC có 3 góc nhọn nội tiếp đường tròn tâm O. Gọi I là điểm trên cung nhỏ AB (I không trùng với A và B). Gọi M,N,P theo thứ tự là hình chiếu của I trên các đường thẳng BC, CA, AB.
a/ Chứng minh ba điểm M,N,P thẳng hàng.
b/ Xác định vị trí điểm I để đoạn thẳng MN có độ dài lớn nhất.
c/ Gọi E, F, G theo thứ tự là tiếp điểm của đường tròn nội tiếp tam giác ABC với cạnh BC, CA,AB. Kẻ EQ vuông góc với GF. Chứng minh QE là tia phân giác của góc BQC.
Bài 5 (2 điểm) Cho a, b, c là các số dương thỏa mãn . Chứng minh 
 Hết 
Họ tên thí sinh:................................. Số báo danh:................. 
Giám thị không giải thích gì thêm
UBND HUYỆN YÊN ĐỊNH
PHÒNG GD&ĐT YÊN ĐỊNH
HƯỚNG DẪN CHẤM THI HỌC SINH GIỎI LỚP 9 - KỲ THI HỌC SINH GIỎI CẤP HUYỆN 
NĂM HỌC 2014-2015
MÔN THI: Toán
Ngày thi: 04 /02/2015
Bài
Câu
Tóm tắt cách giải
Điểm
1
(4,0đ)
a
2điểm
Ta có 
Vậy A=1
1,25
0,5
0,25
b
2điểm
Ta có 
0,25
0,75
0,5
0,25
0,25
2
(4,0
đ)
a
2điểm
Đặt Điều kiện . 
Phương trình trở thành 
Với 
Vậy nghiệm phương trình x=2
0,25
0,5
0,5
0,5
0,25
b
2điểm
Ta có: PT(1) 
Khi đó ta có các hệ phương trình
+ hoặc 
+ hoặc 
Vậy nghiệm hệ phương trình (x,y)=(-1;-2);(2;1);(1;2)
0,5
0,25
0,5
0,5
0,25
Bài 3
a
2điểm
Ta có 
Vì do đó
 hoặc 
Với 
Với 
Vậy nghiệm phương trình (x,y)=(2 ;1) ;(0 ;1)
0,25
0,5
0,5
0,25
0,25
0,25
b
2điểm
+ Chứng minh: x và 3xy-1 nguyên tố cùng nhau
+ Từ giải thiết suy ra 
Đặt 
Ta có 
+ Với k = 1 ta có 
+ Với k= 2 ta có từ (1) 
Vậy nghiệm của phương trình (x,y)=(2,1) ;(1,1) 
0,25
0,25
0,25
0,25
0,25
0,25
0,25
0,25
Bài 4
a
2điểm
Ta có : vuông tại N
 vuông tại P
 là tứ giác nội tiếp đường tròn đường kính AI
 (cùng chắn ) (1)
Ta có : vuông lần lượt tại P và M nên tứ giác IPMB nội tiếp đường tròn đường kính IB
 Ta có :4 điểm A, B, C, I thuộc (O)
Từ (2) và (3) (4)
Từ (1) và (4) 
Suy ra 3 điểm M, P, N thẳng hàng
0,25
0,25
0,25
0,25
0,25
0,25
0,25
0,25
b
2điểm
Theo chứng minh trên ta có: 
 ( vì )
Dấu = xảy ra khi CI là đường kính của đường tròn (O)
Vậy MN lớn nhất bằng AB khi I đối xứng với C qua O.
0,5
0,5
0,5
0,5
c
2điểm
Gọi B’ và C’ lần lượt là hình chiếu của B và C trên đường thẳng GF
C/ m 
Lại có 
BG=BE;CF=CE
Và BB’//OE//CC’
 (9)
Từ (8) và (9) 
 (Vì OE//BB’//CC’) 
Suy ra QE là tia phân giác của góc BQC.
0,25
0,5
0,5
0,25
0,25
0,25
Bài 5
2điểm
Đặt 
và 
Ta có 2b+3c+16 =y+z+14 ;
 6a+3c+16=x+z+14
 6a+2b+16=x+y+14
Bất đẳng thức trở thành 
Ta có
C/m 
Suy ra 
Dấu = xảy ra khi 
Suy ra điều phải chứng minh.
0,25
0,25
0,25
0,5
0,25
0,25
0,25
Lưu ý : Hs làm cách khác đúng vẫn được điểm tối đa
 Bài hình học sinh có thể sự dụng kiến thức tứ giác nội tiếp đường tròn.