Đề thi chọn học sinh giỏi cấp huyện môn Toán Lớp 8 - Năm học 2015-2016 - Phòng GD & ĐT Lương Tài (Có đáp án)

UBND HUYỆN LƯƠNG TÀI
PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI LỚP 8 CẤP HUYỆN 
 NĂM HỌC: 2015 - 2016
 Môn thi: Toán 8
 Thời gian làm bài: 150 phút (Không kể thời gian phát đề)
Bài I (4,0 điểm).
	1) Phân tích đa thức thành nhân tử: .
2) Cho biểu thức: ( Với ).
a) Rút gọn biểu thức A;	
	b) Tìm giá trị của x để A < -1.
Bài II (3,5 điểm)
 1) Chứng minh rằng chia hết cho 64 với mọi n là số nguyên lẻ.
2) Tìm các số nguyên x, y thỏa mãn 
Bài III (3,5 điểm)
 Giải các phương trình sau: 
 1) 
 2) 
Bài IV (6,0 điểm)
	 Cho hình vuông . Gọi là một điểm trên cạnh ( khác và ). Qua kẻ vuông góc với , cắt tại . Trung tuyến của tam giác cắt ở . Đường thẳng kẻ qua , song song với cắt ở . 
 1) Chứng minh = và tứ giác là hình thoi.
 2) Chứng minh D đồng dạng với D và = 
 3) Khi thay đổi trên , chứng minh chu vi tam giác không đổi.
Bài V (3,0 điểm)
Chứng minh các bất đẳng thức sau:
1) a2 + b2 + c2 ab+ bc + ca
 2) a4 + b4 + c4 abc(a+b+c)
---------- Hết ----------
(Đề thi gồm có 01 trang)
Thí sinh không được sử dụng tài liệu. Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm.
Họ và tên thí sinh:..............................................; Số báo danh..............
UBND HUYỆN LƯƠNG TÀI
PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
HƯỚNG DẪN CHẤM THI HSG CẤP HUYỆN 
Năm học 2015-2016
Môn thi Toán 8
Bài
Đáp án
Điểm
Bài I
(4.0 điểm)
1) (1.5 điểm)
 = 2x2 – 4x – x + 2 = 2x(x -2) – (x - 2)
0,75
 = (x - 2)(2x - 1).
0,75
2) (2.5 điểm)
a) Với ĐK: 
025
0,25
0,5
0.25
0,25
 b) Để thì 
 (vì 3 > 0 )
Kết hợp với điều kiện xác định ta có: thì A <-1 
0.5
0.25
0.25
Bài II
(3.5 điểm)
1) (1.5 điểm)
= 
Do n là số nguyên lẻ nên n = 2k +1 (k )
0,5
Khi đó 
Do k(k +1) chia hết cho 2 nên chia hết cho 4
0,5
 chia hết cho 64
Vậy chia hết cho 64 với mọi n là số nguyên lẻ.
0,5
2) (2.0 điểm)
Ta có (1)
0,5
 (2)
0,5
Từ (1) và (2) ta có x < y < x + 2 mà x, y nguyên suy ra y = x + 1
0.25
Thay y = x + 1 vào pt ban đầu và giải phương trình tìm được x = 1; từ đó tìm được hai cặp số (x, y) thỏa mãn bài toán là: (-1 ; 0) và (1; 2)
0.5
KL : Các nghiệm (x,y ) nguyên thỏa mãn là (-1 ; 0) và (1; 2)
0.25
Bài III
(3.5 điểm) 
1) (1.5 điểm)
1) 
0,5
0,25
(5x -200) = 0x = 40.
Vậy tập nghiệm của Pt đã cho là S = 
0.5
0,25
2) (2.0điểm)
2) (1)
0,5
Chứng minh được với a+b+c=0 a3+b3+c3 = 3abc
1.0
(1) 
Vậy tập nghiệm của phương trình là 
0,5
BàiI V (6,0 điểm)
A
A
B
C
D
E
F
x
I
K
G
1) ( 2.0 điểm)	
 Xét hai tam giác vuông ABE và ADF có AB = AD, 
( Cùng phụ với ). Vậy 
Vì và là trung tuyến của tam giác . Hai tam giác vuông IEG và IFK có IE=IF, ( So le trong) nên IEG= IFK
EG=FK. Tứ giác EGFK có hai cạnh đối EG và FK song song và bằng nhau nên là hình bình hành.
Hình bình hành EGFK có hai đường chéo GK và EF vuông góc nên là hình thoi
0.5
0.5
0.5
0.5
2) ( 2.0 điểm)
Xét hai tam giác AKF và CAF ta có ( góc chung), ( AC là đường chéo hình vuông ABCD, AK là trung tuyến của tam giác vuông cân AEF)
Suy ra tam giác AKF đồng dạng với tam giác CAF.
Vì tam giác AKF đồng dạng với tam giác CAF nên ta có: 
0.5
0.5
0.5
0.5
 3) ( 2.0 điểm)
Theo ý a) ta có nên EB = FD
 Tứ giác EGFK là hình thoi nên EK=KF
Do đó, chu vi tam giác EKC bằng EK+KC+CE=CF+CE=CD+DF+CE=2CD ( không đổi)
0.5
0.5
1.0
Bài V
(3.0điểm)
1) (1.0 điểm)
Xét hiệu
Từ đó suy ra a2 + b2 + c2 ab+ bc + ca 
Dấu bằng xảy ra khi a = b = c
0,25
0.5
0.25
2)( 2.0 điểm) Áp dụng phần 1 ta có:
(a2)2 + (b2)2 + (c2)2 a2b2 + a2c2+ b2c2
	(ab)2+ (bc)2 + (ca)2 ab.bc+ ab.ca+bc.ca = abc(a+b+c)
 Suy ra : a4 + b4 + c4 abc(a+b+c) 
Dấu bằng xảy ra khi a =b =c
0,5
0.5
0.5
0.5