Đề thi chọn học sinh giỏi cấp huyện môn Toán Khối 7 - Năm học 2016-2017 - Phòng GD & ĐT Quốc Oai (Có đáp án)

PHÒNG GD&ĐT
QUỐC OAI
ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP HUYỆN
Môn: Toán 7
Năm học 2016 - 2017
Thời gian làm bài: 120 phút (không tính thời gian giao đề)
Họ và tên: .....SBD:.............
Câu 1 (4 điểm) Tìm x:
a/ 	b/ 	c/ 
Câu 2 (3 điểm) Tìm x, y, z biết và x2 + y2 + z2 = 116.
Câu 3 (1 điểm) Trong vòng bán kết giải bóng đá của trường THCS Phù Đổng có 4 đội thi đấu, gọi A là tập hợp các cầu thủ; B là tập hợp các số áo thi đấu. Quy tắc mỗi cầu thủ ứng với số áo của họ có phải là một hàm số không? Vì sao?
Câu 4 (1.5 điểm) Tính giá trị của đa thức P = với 
Câu 5 (2 điểm) Cho : . Chứng minh: 
Câu 6 (1.5 điểm) Tìm các số tự nhiên x, y thỏa mãn: 2x2 + 3y2 = 77
Câu 7 (2.5 điểm) Cho DABC, tia phân giác của góc A cắt BC tại D. Biết 
	a/ Tính: 
	b/ Tính các góc của DABC nếu 
Câu 8 (4.5 điểm) Cho DABC có ba góc nhọn, trung tuyến AM. Trên nửa mặt phẳng bờ AB chứa điểm C, vẽ đoạn thẳng AE vuông góc và bằng AB. Trên nửa mặt phẳng bờ AC chứa điểm B, vẽ đoạn thẳng AD vuông góc và bằng AC.
	a/ Chứng minh: BD = CE
	b/ Trên tia đối của tia MA lấy N sao cho MN = MA. Chứng minh: DADE = DCAN.
	c/ Gọi I là giao điểm của DE và AM. Chứng minh: 
Chú ý: Học sinh không được dùng máy tính cầm tay.
PHÒNG GD & ĐT QUỐC OAI 	 KỲ THI CHỌN HSG NĂM HỌC 2016-2017
 Hướng dẫn chấm Toán 7
Câu
Phần
Nội dung
Điểm
1
a
 Û Û Û 
 Vậy với x = hoặc x = - thì 
1.5đ
b
 2x - = x - Û x = - Þ x = - 
1đ
c
 (x - 3) - (x - 3) = 0 Û (x - 3) [1- (x - 3)] = 0
 Û 
1.5đ
2
 = = Þ = = = = = 4 
 Vậy (x; y; z) = (4; 6; 8) hoặc (x; y; z) = (-4; -6; -8) 
1đ
1đ
1đ
3
Quy tắc mỗi cầu thủ ứng với số áo của họ không là một hàm số vì đại lượng cầu thủ không phải là các giá trị bằng số. (trả lời đúng giải thích sai không có điểm) 
1đ
4
 P = x + xy - 2x - xy - y + 3y + x + 2017 
= x (x + y) - 2x - y(x + y) + 3y + x + 2017 
 = 2x - 2x - 2y + 3y + x + 2017 = x + y + 2017 = 2019 
Vậy với x + y = 2 thì P = 2019 
Hoặc nhóm để xuất hiện x + y - 2 
1.5đ
5
 = = 
 Þ = = = = 0
 Þ 12x = 8y = 6z 
 Þ = = 
0,5
0,5
0,5
0,5
6
 2x + 3y = 77 Þ 3y2 = 77 – 2y2 ≤ 77 Þ y2 ≤ 77/3 Þ y2 ≤ 25
Mà 2x2 chẵn; 77 lẻ Þ 3y2 lẻ Þ y2 lẻ Þ y2 Î {1; 9; 25}
 + y2 = 1 Þ 2x2 = 77 - 3 = 74 Þ x2 = 37 Þ không có số tự nhiên x 
 + y2 = 9 Þ 2x2 = 77 - 27 = 50 Þ x2 = 25 Þ x = 5 và y = 3
 + y2 = 25 Þ 2x2 = 77 - 75 = 2 Þ x2 = 1 Þ x = 1 và y = 5
Vậy số tự nhiên x, y thỏa mãn 2x + 3y = 77 là (x; y) = (5; 3); (1; 5)
Học sinh lần lượt thử chọn các số tự nhiên x (hoặc y) từ 0, 1, 2, ... để có được KQ sẽ không được điểm vì không thể hiện được năng lực tư duy số học.
0.5đ
1đ
7
a
 Xét DADC có là góc ngoài tại D 
 Þ = 85 (1)
 Xét DADB có là góc ngoài tại D
 Þ = 180 - 85 = 95 (2)
 Mà (Vì AD là tia phân giác của góc A)
 Þ Từ (1) và (2) Þ = 10 
1.5đ
b
 Vì mà 4. = 5. Þ 
 Þ và Þ 
1đ
8
a
Xét DABD và DACE có:
AD = AC (gt)
AE = AB (gt)
 (Cùng phụ với )
 Þ DABD = DAEC (c.g.c)
 Þ BD = CE (Hai cạnh tương ứng) 
Vẽ hình 0.5đ
1đ
b) 
 Xét DABM và DNCM có AM = MN (gt) ; BM = CM (gt) (đối đỉnh) Þ DABM = DNCM (c.g.c) Þ AB = CN (hai cạnh tương ứng)
 (Hai góc tương ứng)
Ta có 
Lại có 
 Þ 
 Xét DADE và DACN có CN = AE (cùng bằng AB)
 AC = AD (gt)
 (cmt)
 Þ DADE = DCAN (c.g.c) 
1.5đ
c
 Vì DADE = DCAN (cmt) Þ (Hai góc tương ứng) 
Gọi P là giao điểm của DE và AC
 Xét DADP vuông tại A Þ Þ 
 Þ AI ^ DE
 Xét DADI vuông tại I. Theo ĐL Pytago ta có AD = DI + AI Þ AI = AD - DI
 Xét DAIE vuông tại I. Theo ĐL Pytago ta có AE = AI + IE Þ AI = AE - IE
 Þ AD - DI = AE - IE Þ AD + IE = DI + AE Þ = 1 (đpcm)
0.5đ
0.5đ
0.5đ
Lưu ý: Mọi cách giải khác đúng đều cho điểm tương ứng.