Đề thi chọn học sinh giỏi cấp huyện Lục yên năm học 2007 – 2008 môn thi: Toán

PHềNG GIÁO DỤC & ĐÀO TẠO HUYỆN LỤC YấN
ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP HUYỆN
Năm học 2007 – 2008
Mụn thi: Toỏn
Thời gian làm bài: 150 phỳt, khụng kể thời gian giao đề
Bài 1 (1,5 điểm) Cho biểu thức 
 a)Rút gọn K. 
 b) Tính giá trị của K khi 
 c) Tìm các giá trị của a sao cho K< 0.
Bài 2 (1,5 điểm)
Cho x, y là cỏc số thỏa món x + y = 2. 
Tỡm giỏ trị nhỏ nhất của biểu thức: A = x3 + y3 + 2xy
Bài 3 (3 điểm)
	Giải phương trỡnh: 
a) 
b) 
Bài 4 (2 điểm) 
Cho hỡnh thang ABCD (AD // CB và AD > BC) cú cỏc đường chộo AC và BD vuụng gúc với nhau tại I. Trờn đỏy AD lấy điểm M sao cho AM bằng độ dài đường trung bỡnh EF của hỡnh thang. Chứng minh rằng ∆MAC cõn tại M.
Bài 5 (2 điểm)
	Cho DABC vuụng tại A cú M là trung điểm của BC. Cú hai đường thẳng di động và vuụng gúc với nhau tại M cắt cỏc đoạn AB và AC lần lượt tại D và E. Xỏc định vị trớ của D và E để diện tớch DDME đạt giỏ trị nhỏ nhất.
HƯỚNG DẪN CHẤM ĐỀ THI HSG CẤP HUYỆN
Năm học 2007 – 2008
Mụn: Toỏn
Sơ lược lời giải và thang điểm
Bài 1 (1,5 điểm)
	Tớnh giỏ trị của biểu thức: 
Giải: " n ẻ N, ta cú: 
 (1)
(0,5 điểm)
Mặt khỏc: 	 (2)
(0,5 điểm)
Áp dụng (1) và (2) để tớnh S, ta được: 
(0,5 điểm)
Bài 2 (1,5 điểm)
	Cho x, y là cỏc số thỏa món x + y = 2. 
Tỡm giỏ trị nhỏ nhất của biểu thức: A = x3 + y3 + 2xy 
Giải: Ta cú: (a – b)2 ≥ 0 Û (a + b)2 ≥ 4ab Û –4ab ≥ –(a + b)2. 	(0,5 điểm)
Áp dụng vào biểu thức A, ta cú: 
A 	= (x + y)3 – 3xy(x + y) + 2xy
	= 8 – 6xy + 2xy	
	= 8 – 4xy ≥ 8 – (x + y)2 = 8 – 4 = 4	(0,5 điểm)
Dấu “=” xảy ra Û x = y mà x + y = 2 (gt) ị x = y = 1
Vậy: min A = 4 Û x = y = 1 	(0,5 điểm)
Bài 3 (3 điểm)
	Giải phương trỡnh: 
a) (1)
b)
Giải: 
a) (1,5 điểm). Điều kiện: 	 	(0,5 điểm)
Ta cú: 	(1) 	Û 	(0,5 điểm)
	Û (thỏa món)
Vậy: Phương trỡnh đó cho cú một nghiệm x = –1	(0,5 điểm)	
	b) (1,5 điểm). 
Ta cú: 	3x2 + 6x + 7 = 3(x + 1)2 + 4 ≥ 4
	5x2 + 10x + 14 = 5(x + 1)2 + 9 ≥ 9 	
Do đú: 
	Dấu “=” xảy ra Û x = –1	(1)
	(0,5 điểm)
	Mặt khỏc: 4 – 2x – x2 = 5 – (x + 1)2. Dấu “=” xảy ra Û x = –1	(2)
	(0,5 điểm)
Từ (1) và (2) suy ra: Û x = –1. 
Vậy: Phương trỡnh đó cho cú nghiệm duy nhất là x = –1
	(0,5 điểm)
Bài 4 (2 điểm)
Cho hỡnh thang ABCD (AD // CB và AD > BC) cú cỏc đường chộo AC và BD vuụng gúc với nhau tại I. Trờn đỏy AD lấy điểm M sao cho AM bằng độ dài đường trung bỡnh EF của hỡnh thang. Chứng minh rằng ∆MAC cõn tại M.
Giải: 
– Từ C kẻ đường thẳng song song với BD
cắt AD tại N ị BCND là hỡnh bỡnh hành
Suy ra: BC = DN
	(1 điểm)
– Mặt khỏc: AD + BC = 2EF mà AM = EF (gt)
Suy ra: AN = AD + DN = AD + BC = 2AM
Do đú: M là trung điểm của AN 
	(0,5 điểm)
– Vỡ CN // BC mà BD ^ AC ị CN ^ AC
Hay: ∆ACN vuụng tại C cú CM là trung tuyến 
ị 2CM = AN. Hay: CM = AM
Vậy: ∆AMC cõn tại M 
	(0,5 điểm)
Bài 5 (2 điểm)
	Cho DABC vuụng tại A cú M là trung điểm của BC. Cú hai đường thẳng di động và vuụng gúc với nhau tại M cắt cỏc đoạn AB và AC lần lượt tại D và E. Xỏc định vị trớ của D và E để diện tớch DDME đạt giỏ trị nhỏ nhất.
Giải: 
– Kẻ MF ^ AB, MG ^ AC 
ị AFMG là hỡnh chữ nhật.
	(0,5 điểm)
– Ta cú: MD ≥ MF và ME ≥ MG 
(tớnh chất đường xiờn, hỡnh chiếu)
	(0,5 điểm)
Do đú: 
Dấu "=" xảy ra Û D ≡ F và E ≡ G
	(0,5 điểm)
Vậy: Khi D và E lần lượt là hỡnh chiếu của M trờn AB, AC thỡ diện tớch của DDME đạt giỏ trị nhỏ nhất.
	(0,5 điểm)
Chỳ ý: Nếu học sinh cú cỏch giải khỏc với đỏp ỏn mà vẫn cho kết quả hợp lý, chớnh xỏc thỡ vẫn cho điểm theo thang điểm trờn.