Đề thi chọn đội tuyển quốc gia dự thi IMO 2014

ĐỀ THI CHỌN ĐỘI TUYỂN QUỐC GIA 
DỰ THI IMO 2014 
Ngày thi thứ nhất (25/03/2014) 
Bài 1. 
Tìm tất cả các hàm số :f   thỏa mãn điều kiện 
 2 ( ) ( ) ( ) ( )f m f m f m f n nf m m    
với mọi ,m n là các số nguyên. 
Bài 2. 
Trong mặt phẳng tọa độ Oxy , xét các điểm nguyên có tọa độ thuộc tập hợp 
 ( ; ) : , 20,( ; ) (0;0)T x y x y x y   . 
Tô màu các điểm thuộc T sao cho với mọi điểm có tọa độ ( , )x y T thì có đúng một 
trong hai điểm ( ; )x y và ( ; )x y  được tô màu. Với mỗi cách tô như thế, gọi N là số các 
bộ 1 1 2 2( ; ),( ; )x y x y mà cả hai điểm này cùng được tô màu và 1 2 1 22 , 2 (mod 41)x x y y  . 
Tìm tất cả các giá trị có thể có của .N 
Bài 3. 
Cho tam giác ABC có A B C  và nội tiếp trong đường tròn ( ).O Trên cung nhỏ BC 
của ( )O và không chứa điểm A , lấy điểm D tùy ý. Giả sử CD cắt AB ở E và BD cắt 
AC ở F . Gọi 1O là tâm đường tròn nằm trong tam giác EBD , tiếp xúc với ,EB ED và 
tiếp xúc với đường tròn ( ).O Gọi 2O là tâm đường tròn nằm trong tam giác FCD , tiếp 
xúc với ,FC FD và tiếp xúc với đường tròn ( ).O 
a. Gọi M là tiếp điểm của 1( )O với BE và N là tiếp điểm của 2O với CF . Chứng minh 
rằng đường tròn đường kính MN luôn đi qua một điểm cố định. 
b. Đường thẳng qua M và song song với CE cắt AC ở P , đường thẳng qua N và song 
song với BF cắt AB ở Q . Chứng minh rằng đường tròn ngoại tiếp tam giác 
( ),( )AMP ANQ cùng tiếp xúc với một đường tròn cố định. 
ĐỀ THI CHỌN ĐỘI TUYỂN QUỐC GIA 
DỰ THI IMO 2014 
Ngày thi thứ hai (26/03/2014) 
Bài 4. 
a. Cho tam giác ABC có đường cao AD và P là một điểm di động trên AD . Các 
đường thẳng PB và AC cắt nhau E , các đường thẳng PC và AB cắt nhau .F Giả sử tứ 
giác AEDF nội tiếp. Chứng minh rằng 
(tan tan )cot
2
PA AB C
PD
  . 
b. Cho tam giác ABC có trực tâm H và P là một điểm di động trên AH . Đường thẳng 
vuông góc với AC tại C cắt BP tại M , đường thẳng vuông góc với AB tại B cắt CP 
tại .N Gọi K là hình chiếu của A trên MN . Chứng minh BKC MAN  không đổi. 
Bài 5. 
Tìm tất cả đa thức ( ), ( )P x Q x có hệ số nguyên và thỏa mãn điều kiện: 
Với dãy số ( )nx thỏa mãn điều kiện: 0 2 1 2 2 2 12014, ( ), ( )n n n nx x P x x Q x    với 1n thì 
mỗi số nguyên dương m là ước của một số hạng nào đó của dãy ( )nx . 
Bài 6. 
Cho , ,m n p là các số tự nhiên không đồng thời bằng 0. Không gian tọa độ được chia 
thành các mặt phẳng song song cách đều nhau. Một cách điền vào mỗi khối lập phương 
đơn vị một trong các số từ 1 đến 60 được gọi là cách điền Điện Biên nếu thỏa mãn: trong 
mỗi hình hộp chữ nhật với các mặt trên các hệ mặt đã cho và tập hợp độ dài ba cạnh 
xuất phát từ một đỉnh là  2 1,2 1,2 1m n p   . Khối lập phương đơn vị có tâm trùng 
với tâm của hình hộp chữ nhật được điền số bằng trung bình cộng của các số điền ở 
tâm của 8 hình lập phương ở các góc của hình hộp đó. Hỏi có tất cả bao nhiêu cách điền 
Điện Biên? 
Những cách điền là giống nhau nếu các số được điền vào các khối lập phương đơn vị có 
cùng tọa độ trong các cách này đều giống nhau.