Đề thi chọn đội tuyển lớp 9 dự thi cấp tỉnh năm học 2011-2012 môn Toán

PHÒNG GD& ĐT ĐÀO TẠO LÂM THAO 
KÌ THI CHỌN ĐỘI TUYỂN LỚP 9 DỰ THI CÂP TỈNH
NĂM HỌC 2011-2012
ĐỀ THI MÔN TOÁN
Thời gian làm bài 150 phút không kể thời gian giao đề
Ngày thi 9 tháng 2 năm 2012
 Câu 1 ( 3 điểm)
a) Tìm nghiệm nguyên của phương trình : 2(x+y)+xy=x2 +y2
b)Chứng minh rằng nếu 3 số a, a + k , a + 2k đều là các số nguyên tố lớn hơn 3 thì k 6 
Câu 2 ( 4 điểm)
Cho ; 
 Chứng minh rằng 
Cho x. y. z là các số thực dương thỏa mãn điều kiện : 
 Tính giá trị biểu thức
Câu 3 ( 4 điểm)
	a) Giải phương trình 
	b) Giải hệ phương trình: 
Câu 4 ( 7 điểm)
 Cho đoạn OA=2a cố định hai tia Ox và Oy tạo với nhau một góc 450 và tự quay xung quanh đỉnh O . Qua điểm A hạ đường vuông góc AB xuống Ox và AC xuống Oy .
a) Chứng minh rằng 4 điểm A, B, C,O cùng nằm trên một đường tròn ,tính độ dài đoạn thẳng BC theo a.
b) Tìm điểm cố định mà đường tròn đường kính BC đi qua.
c) Gọi D và E lần lượt là giao của AB và AC với Oy và Ox. Tam giác ACD là tam giác gì? Chứng minh DE có độ dài không đổi
Câu 5 ( 2 điểm)
 Cho a;b;c dương thỏa mãn a+b+c=1.Tìm trị lớn nhất của biểu thức
Ghi chú : thí sinh không được sử dụng máy tính cầm tay
PHÒNG GD& ĐT ĐÀO TẠO LÂM THAO 
KÌ THI CHỌN ĐỘI TUYỂN LỚP 9 DỰ THI CÂP TỈNH
NĂM HỌC 2011-2012
HƯỚNG DẪN CHẤM THI MÔN TOÁN 
Câu
Hướng dẫn chấm
Điểm
1
a) 2(x+y)+xy=x2 +y2x2 –(y+2)x+y2-2y=0(1)
PT (1) có nghiệm khi 
chính phương
giải ra tìm được 
b)/ . Chứng minh rằng nếu 3 số a, a + k , a + 2k đều là các số nguyên tố lớn hơn 3 thì k 6 
Vì a và a + k cùng lẻ nên a + k - a = k 2 (1)
Do a, a + k , a + 2k là các số nguyên tố lớn hơn 3 nên chúng đều là số lẻ và không chia hết cho 3, như vậy ít nhất có 2 số có cùng số dư khi chia cho 3.
- Nếu a và a + k có cùng số dư khi chia cho 3
 thì a + k -a = k 3.
- Nếu a + k và a + 2k có cùng số dư khi chia cho 3
 thì a + 2k - a - k = k 3.
- Nếu a và a + 2k có cùng số dư khi chia cho 3 
thì (a + 2k - a = 2k 3 suy ra k 3
Ta có k chia hết cho 2 , k chia hết cho 3 nên k chia hết cho 6
0,5
1,0
0,5
1,0
a)Ta có 
ta có suy ra 
b) Ta có 
 Khi đó ta có : 
 (1)
Tương tự (2)
 (3)
Từ (1), (2), (3) suy ra 
1,0
1,0
1,0
1,0
a) đặt 
 PT có 2 nghiệm phân biệt
 ; 
PT có 2 nghiệm phân biệt 
b) ĐK: 
Giải (2) 
* Nếu . 
thay vào (1) (1) ta được 
 (PT vô nghiệm)
* Nếu . 
Thay vào (1) ta được 
- Với (T/m đk)
- Với (T/m đk)
Vậy PT có 2 nghiệm (x; y) = (2; 3); (x; y) = (-2; -3)
1,0
1,0
1,0
1,0
Ta có 4 điểm O, B, A, C nằm trên đường tròn tâm I đường kính OA ta có BIC=2BOC= 900 nên BIC vuông tại I suy ra có cạnh góc vuông bằng a nên 
 b)Đường tròn đường kính BC luôn đi qua điểm I cố định
c) ACD nên ACD vuông cân tại A
Ta có 4 điểm E, B, C, D cùng nằm trên đường tròn đường kính DE
gọi H là tâm của đường tròn này ta có
 nên BHC vuông cân tại H có cạnh huyền nên BE=2a
2,5
2,0
2,5
 Dấu bằng xảy ra khi a= b = c = 1/ 3
Cách khác 
Từ a + b + c = 1 => ac + bc + c2 = c ( Do c > 0)
Vì vậy: c + ab = ac + ab + bc + c2 = (b+c)(c+a)
Do đó ( Cô – si)
Tương tự: ; 
Vậy 
Vậy khi a=b=c=
1,0
Ghi chú : điểm toàn bài làm tròn đến 0,5