Đề thi chọn đội tuyển HSG lớp 9-THCS tham dự kỳ thi cấp tỉnh năm học 2012 - 2013 môn: Toán

ĐỀ THI CHỌN ĐỘI TUYỂN HSG LỚP 9-THCS
 THAM DỰ KỲ THI CẤP TỈNH
 NĂM HỌC 2012 - 2013
 Môn: Toán
(Thời gian làm bài 150 phút không kể thời gian giao đề )
 ( Đề thi có 01 trang )
Câu 1 (4,5 điểm).
	a) Rút gọn biểu thức: A = ;
	b) Tìm tất cả các tam giác vuông có các cạnh là một số nguyên và có diện tích bằng chu vi.
Câu 2 (4,0 điểm).
	a) Giải phương trình: + = 3;
	b) Cho 3 số x, y, z thỏa mãn đồng thời:
 3x - 2y - 2 +1 =0
 3y - 2z - 2 + 1 = 0
 3z - 2x - 2 - 2 = 0;
	Tính giá trị của biểu thức P = ( x - 4) + ( y + 2012) + ( z - 2013).
Câu 3 (3,0 điểm).
	Giải hệ phương trình:
Câu 4 (6,5 điểm).
	Cho nửa đường tròn đường kính AB, tâm O. Từ A, B kẻ hai tia tiếp tuyến Ax và By (Tia Ax, By và nửa đường tròn thuộc cùng một nửa mặt phẳng bờ AB). Qua điểm M thuộc nửa đường tròn này, kẻ tiếp tuyến thứ ba, cắt các tiếp tuyến Ax và By lần lượt ở E và F.
	a) Gọi giao điểm của AF và BE là K. Chứng minh MK vuông góc với AB;
	b) Cho AB = 2R và gọi r là bán kính đường tròn nội tiếp tam giác EOF. Chứng minh rằng: < < ;
	c) Vẽ tam giác vuông cân MBD đỉnh B ra phía ngoài nửa đường tròn. Chứng minh rằng khi M di chuyển trên nửa đường tròn đường kính AB thì đường thẳng đi qua D và song song với MB luôn đi qua một điểm cố định.
Câu 5( 2,0 điểm).
	Cho x, y >1. Chứng minh rằng: .
------------------Hết--------------------
HƯỚNG DẪN CHẤM THI CHỌN ĐỘI TUYỂN HSG LỚP 9 - THCS 
THAM DỰ KỲ THI CẤP TỈNH NĂM HỌC 2012 – 2013
Môn: Toán
--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
Câu 1 (4,5 điểm):
a) Rút gọn biểu thức: A = ;
b) Tìm tất cả các tam giác vuông có các cạnh là một số nguyên và có diện tích bằng chu vi.
Nội dung
Điểm
a) A = = 
0,50
 = 
0,50
= 
0,50
= = 1
0,50
b) Gọi x, y, z là các cạnh của tam giác vuông: . Ta có: 
 (1)
xy = 2( x + y + z). (2)
0,50
Từ (1) ta có: 
0,50
 ( do x+ y 2)
0,50
Thay z = x + y - 4 vào (2) ta được:
( x- 4) ( y - 4) = 8, suy ra:
0,50
x - 4 =1 và y - 4 =8 x = 5 và y = 12 z = 13
x - 4 =2 và y - 4 =4 x = 6 và y = 8 z = 10.
Vậy các tam giác vuông phải tìm có các cạnh là:
5, 12, 13 và 6, 8, 10.
0,50
Câu 2 (4,0 điểm):
a) Giải phương trình: + = 3;
b) Cho 3 số x, y,z thỏa mãn đồng thời:
3x - 2y - 2 +1 =0
3y - 2z - 2 + 1 = 0
3z - 2x - 2 - 2 = 0;
Tính giá trị của biểu thức P = ( x - 4) + ( y + 2012) + ( z - 2013).
Nội dung
Điểm
a) + = 3
 . . ( + ) = 27.
0,50
 9 + 9. = 27
0,50
(x + 2 ) ( 7 - x ) = 8
x - 5x - 6 = 0 
0,50
 x = -1; x = 6.
Vậy phương trình có nghiệm x = -1; x = 6.
0,50
b) 3x - 2y - 2 +1 =0 (1)
3y - 2z - 2 + 1 = 0 (2)
3z - 2x - 2 - 2 = 0 (3)
Cộng vế với vế của (1), (2), và (3) ta được:
x + y + z - 2 - 2- 2 = 0
0,50
 ( x - 2 - 2 + 1) + ( y + 2012 - 2 + 1)
 + ( z - 2013 - 2 + 1) = 0
0,50
( - 1 ) + ( - 1)+ (- 1)= 0
 - 1 = 0 x = 3
 - 1 = 0 y = - 2011
 - 1 = 0 z = 2014
0,50
 Vậy P = ( 3 - 4) + ( - 2011 + 2012) 
 + ( 2014 - 2013) P = -1 + 1 +1 = 1.
0,50
Câu 3 (3,0 điểm):
	Giải hệ phương trình: 
Nội dung
Điểm
ĐK: x.
0,25
Từ phương trình thứ nhất của hệ ta có 
 ( x - y ) ( 1+ ) = 0 
 x = y hoặc xy = -1 
0,50
* 
0,50
x = y = 1; x = y = ; x = y = .
( thỏa mãn ĐK) 
0,50
* vô nghiệm.
0,50
(Ta có x+ x + 2 = ( x- )+ ( x + )+ > 0 x)
0,50
Vậy hệ đã cho có 3 nghiệm 
x = y = 1; x = y = ; x = y = .
0,25
Câu 4: (6,5 điểm)
	Cho nửa đường tròn đường kính AB, tâm O.Từ A, B kẻ hai tia tiếp tuyến Ax và By ( Tia Ax, By và nửa đường tròn thuộc cùng một nửa mặt phẳng bờ AB). Qua điểm M thuộc nửa đường tròn này, kẻ tiếp tuyến thứ ba, cắt các tiếp tuyến Ax và By lần lượt ở E và F.
a) Gọi giao điểm của AF và BE là K. Chứng minh MK vuông góc với AB;
b) Cho AB = 2R và gọi r là bán kính đường tròn nội tiếp tam giác EOF. Chứng minh rằng: < < ;
c) Vẽ tam giác vuông cân MBD đỉnh B ra phía ngoài nửa đường tròn. Chứng minh rằng khi M di chuyển trên nửa đường tròn đường kính AB thì đường thẳng đi qua D và song song với MB luôn đi qua một điểm cố định.
Nội dung
Điểm
Vẽ hình:
0,50
a) Theo tính chất 2 tiếp tuyến cắt nhau ta có:
 AE = EM, BF = FM.
0,50
Vì Ax và By cùng vuông góc với AB nên Ax // By, theo định lí Ta-lét ta có: 
0,50
0,50
 MK // AE
 MK AB.
0,50
b) Chứng minh tam giác OEF vuông tại O, OM là đường cao và OM = R.
0,50
Gọi độ dài 3 cạnh của tam giác OEF là a, b, c; EF = a
Ta có S= r (a + b + c) = aR.
 aR = r( a + b + c) 
0,50
Mà b + c > a a + b + c > 2a < < 
0,50
Mặt khác: b< a, c < a a + b + c < 3a 
> > < < .
0,50
c) Gọi T là giao điểm của tia By và đường thẳng đi qua D và song song với MB. Ta có = 90.
0,50
Chứng minh tam giác AMB và tam giác TDB bằng nhau ( g-c-g) 
0,50
 AB = BT BT không đổi, 
0,50
T thuộc tia By cố định T cố định. 
Vậy khi M di chuyển trên nửa đường tròn đường kính AB thì đường thẳng đi qua D và song song với MB luôn đi qua điểm cố định T.
0,50
Câu 5: ( 2,0 điểm) 
Cho x, y >1. Chứng minh rằng:
. 
Nội dung
Điểm
Ta có P = = 2 =(1)
0,50
 Lại có 
0,25
0,25
Suy ra (2)
0,25
Từ (1) và (2) suy ra .
0,25
Dấu bằng xảy ra và x = y = 2
 x = y =2.
0,50
----------------HẾT---------------