Đề thi chọn đội tuyển học sinh giỏi (vòng 2) năm học 2013-2014 môn thi: Toán - lớp 9

PHềNG GD - ĐT TĨNH GIA
ĐỀ CHÍNH THỨC
ĐỀ THI CHỌN ĐỘI TUYỂN 
HỌC SINH GIỎI (VềNG 2)
Năm học 2013-2014
Mụn thi: Toỏn - Lớp 9
Thời gian làm bài: 150 phỳt
Ngày thi: 25/02/2014
Bài 1: (4 điểm) 
a) Cho a+b+c =0. Tớnh giỏ trị biểu thức sau :
P = 
b) Thu gọn tổng sau N = 13 +23+ ...+n3 với n>1 và n N
Bài 2: (4 điểm) 
a) Cho 3 số nguyờn x,y,z thoả món: x2 + y2 =z2. Chứng minh xyz 60
b) Tỡm 3 số tự nhiờn khỏc nhau sao cho tổng cỏc nghịch đảo của chỳng là số nguyờn.
Bài 3: (4 điểm) Giải phương trỡnh và hệ phương trỡnh sau:
Bài 4: (4 điểm) Cho tam giỏc ABC (AB < AC) nội tiếp đường trũn tõm O, đường kớnh BC = 2R. Lấy điểm M đối xứng với điểm A qua điểm B. Gọi điểm H là hỡnh chiếu vuụng gúc của điểm A trờn BC và điểm I là trung điểm của HC.
a) Chứng minh rằng MHAI.
b) Đường thẳng MH cắt đường trũn (O) tại E và F (điểm E nằm giữa điểm M và điểm F); đường thẳng AI cắt đường trũn (O) tại G (điểm G khỏc điểm A). Chứng minh rằng tổng bỡnh phương độ dài cỏc cạnh của tứ giỏc AEGF khụng đổi. 
Bài 5: (2 điểm) Cho tam giỏc vuụng cú số đo ba cạnh là cỏc số nguyờn, trong đú số đo của hai cạnh là hai số nguyờn tố và hiệu của chỳng bằng 50. Tớnh số đo nhỏ nhất của cạnh thứ ba cú thể đạt được. 
Bài 6: (2 điểm) Cho x,y,z là các số nguyên thoả mãn x+y+z =1 
Tìm giá trị bé nhất của biểu thức : M = 
(Cỏn bộ coi thi khụng giải thớch gỡ thờm)
Họ và tờn thớ sinh: ................................................................ Số bỏo danh: ....................
ĐÁP ÁN MễN TOÁN (VềNG 2)
 ( Gồm 4 trang )
Cõu
Nội dung
Điểm
1 (4đ)
a) (2đ) Đặt 
Khi đú P = 	(1)
Ta cú 
= (vỡ c+b= -a)
Tương tự và 
Suy ra = 
= (vỡ c+b= -a)	(2)
Từ (1) và (2) suy ra P = 9
1.0
1.0
b) (2đ) Ta cú n3–n = n( n2-1) = n(n-1).(n+1) suy ra : n3 = n(n-1).(n+1) +n
Vậy N = 13 +23+ ..+n3 = (0.1.2 +1)+ (1.2.3+2)+ ...+ {n(n-1).(n+1) +n}
= {1.2.3+2.3.4+ ...+ n(n-1).(n+1)}+ { 1+2+...+n}
Đặt A= 1.2.3+2.3.4+ ...+ n(n-1).(n+1) và B = 1+2+...+n	
Ta cú 4.A = 4.{1.2.3+2.3.4+ ...+ n(n-1).(n+1)}
= 1.2.3.4+2.3.4.4+... +n(n-1).(n+1).4
= 1.2.3.(4-0)+ 2.3.4.(5-1)+ ...+ n(n-1).(n+1).{(n+2)-(n-2)}
= 1.2.3.4- 0.1.2.3 + 2.3.4.5 – 1.2.3.4 + ...
....+ n(n-1).(n+1). (n+2)- (n-2). n(n-1).(n+1)
= n(n-1).(n+1). (n+2)- 0.1.2.3
Vậy A = và B = 
Từ đú suy ra N = 13 +23+ ..+n3 = (A+B) = 
1.0
1.0
2 (4đ)
a) (2đ)
* Chứng minh xyz chia hết cho 5
+) Nếu xy chia hết cho 5 thỡ xyz chia hết cho 5
+) Nếu xy khụng chia hết cho 5 thỡ x2 và y2 chia 5 dư 1 hoặc dư 4
Khi đú z2 = x2 + y2 chia 5 dư 0 hoặc 2 hoặc 3 nhưng vỡ z2 khụng thể chia 5 dư 2 hoặc dư 3 => z2 chia hết cho 5 hay z chia hết cho 5 .
Vậy xyz chia hết cho 5	
* Chứng minh xyz chia hết cho 3
- Nếu x hoặc y khụng chia hết cho 3 thỡ x2 hoặc y2 chỉ cú thể chia 3 dư 1
khi đú z2 chia 3 dư 2 (Vụ lớ)
Vậy xy chia hết cho 3 hay xyz chia hết cho 3	
 * Chứng minh xyz chia hết cho 4
+) Nếu x ,y chẵn thỡ xyz chia hết cho 4
+) Nếu trong hai số x hoặc y cú một số lẻ, giả sử x chẵn, y lẻ suy ra z lẻ
Đặt x =2k; y = 2n+1, z = 2m+1.Theo bài ra : (2m+1)2 = 4k2+ (2n+1)2 
suy ra k2 = m(m+1)-n(n+1) chia hết cho 2 => x chia hết cho 4
Vậy xyz chia hết cho 4
Mà (3,4,5) =1 nờn xyz chia hết cho 60	
0.5
0.5
1.0
b)(2đ)
Gọi 3 số tự nhiờn thoả món đề bài là x, y, z với x,y,z đều khỏc nhau và khỏc 0
Giả sử 1x< y <z khi đú ta cú 0 < < 3. ta cần tỡm x, y, z để cú giỏ trị nguyờn , khi đú cú 2 trường hợp sau:
TH1) = 1 ,
 Ta cú 1= < suy ra 1x < 3
- Xột x =1 (loại) 
- Xột x =2 khi đú 2 <y<4
 => y = 3 => z= 6 (thoả món ) Ta được 2 cặp số (2 ;3 ;6)	TH2) =2
Ta cú 2 = < suy ra 1x < 
=> x =1 => < suy ra 1x <y <2 (loại) 
Vậy từ cỏc TH trờn ta được 3 số thoả món đề bài là 2 ; 3 và 6 
0.5
0.5
1.0
3
(4đ)
a) (2đ) ĐK : x	
Ta cú 
 x2 -2x +2 = (x-1)2 +1 = 0. Phương trỡnh vụ nghiệm	
0.25
0.25
0.5
1.0
b)(2đ)
 Đk: 
Đặt và 
suy ra : y = 4- u2 và x= 4-v2 thay vào hệ ta cú :
 => 
Trừ từng vế cỏc phương trỡnh trong hệ ta được :
2(u2- v2) = (8-u-v).(v-u)=> (u-v).(u+v+8) = 0 => u= v vỡ u+v+8 >0 	
Khi đú: 11-2v2 = (4-v)2 => 3.v2 -8v + 5 =0
Đưa về dạng tớch ta cú v = 1 hoặc v = (thoả món )
+) Nếu v = 1 thỡ x = y =3(TM)
+) Nếu v = thỡ x = y = (TM)
Vậy nghiệm của hệ là (x ; y) = (3,3) hoặc (x ; y) = (,)	
0.25
0.25
0.5
1.0
4
(4đ)
a) (2đ)
Ta cú = 90 (gúc nội tiếp chắn nửa đường trũn) 
 ị = (cựng phụ với ) (1).
Lại cú DAHB ∽ DCHA (g-g) suy ra 
 (2)
 Từ (1) và (2) suy ra DAHM ∽ với DCIA (c-g-c) ị = 
 Mà + = 90 ị + = 90 ị MH ^ AI 
1.0
1.0
b) (2đ) Lấy D đối xứng với G qua O, ta cú = 90 (gúc nội tiếp chắn nửa đường trũn). Tứ giỏc ADFE cú là hỡnh thang cõn
Ta cú .
 .
 Vậy 
1.0
1.0
5 (2đ)
Gọi độ dài ba cạnh của tam giỏc vuụng ABC là: a, b, c. (a, b, c ẻ N*)
Ta cú: a, b ẻ P và b – a = 50: là số chẵn nờn a, b đều lẻ (b > a).
Giả sử cạnh thứ ba c là cạnh huyền.
Theo định lý Pi-ta-go, ta cú:
c2 = a2 + b2 Û c2 = a2 + (a + 50)2 = 2a2 + 100a + 2500 = 2(a2 + 50a + 1250): số chẵn.
Vỡ a lẻ nờn (a2 + 50a + 1250): lẻ do đú 2(a2 + 50a + 1250) 4: điều này vụ lý vỡ c2 là số chớnh phương chẵn phải chia hết cho 4.
Do đú cạnh thứ ba c khụng thể là cạnh huyền.
Suy ra b là cạnh huyền (vỡ b > a).
Theo định lý Pi-ta-go ta cú:
b2 = a2 + c2 Û c2 = b2 – a2 = (b – a)(b + a) = 50(b + a) = 52.2.( a + b) 
Vỡ c2 là số chớnh phương nờn:
Suy ra: a + b = 2k2 (k ẻ N*), vỡ b > 50 nờn a + b > 50, do đú k ³ 6.
Khi đú: (a + b)min = 2.62 = 72, ta cú:
: thỏa điều kiện
Từ đú: cmin = 5.2.k = 5.2.6 = 60 khi a = 11, b = 61.
Vậy giỏ trị nhỏ nhất của cạnh thứ ba của tam giỏc vuụng là 60.	
1.0
0.5
0.5
6 (2đ) 
Ta cú : = ()+.()
=(x+y)2 +.(x-y)2 (x+y)2 => (x+y)	
Tương tự : (y+z) ; (z+x)
Cộng vế theo vế ta được M (x+y+z) =	
Vậy M đạt giỏ trị nhỏ nhất bằng khi x = y = z = 	
0.5
0.5
0.5
0.5
( Nếu bài học sinh làm cỏch khỏc đỳng vẫn cho điểm tối đa ! )