Đề thi chọn đội tuyển học sinh giỏi lớp 9 huyện Phù Ninh năm học 2015-2016 môn: Toán

PHềNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO HUYỆN PHÙ NINH
ĐỀ THI CHỌN ĐỘI TUYỂN HỌC SINH GIỎI LỚP 9 NĂM HỌC 2015-2016
Mụn : TOÁN 
(Thời gian làm bài : 120 phỳt, khụng kể giao đề)
Cõu 1 (3,0 điểm): 
a) Chứng minh rằng số cú dạng n6 - n4 + 2n3 + 2n2 (trong đú n N và n >1) khụng phải là số chớnh phương.
b) Tìm nghiệm nguyên của phương trình : 1 + x + x2 + x3 = y3
Cõu 2 (4,0 điểm): 
Cho x, y, z là các số dương thỏa mãn: xy + yz + xz = 1
a) Chứng minh rằng: 1 + x2 = (x + y)(x + z)
b) Tính giá trị của biểu thức:
Cõu 3 (4,0 điểm): 
a) Giải phương trỡnh 
 b) Giải hệ phương trình:
Cõu 4 (7,0 điểm): 
a) (6,0 điểm) Cho tam giỏc đều ABC nội tiếp đường trũn (O, R). H là một điểm di động trờn đoạn OA (H khỏc A). Đường thẳng đi qua H và vuụng gúc với OA cắt cung nhỏ AB tại M. Gọi K là hỡnh chiếu của M trờn OB. 
1) Chứng minh hay HKM = 2AMH 
2) Cỏc tiếp tuyến của (O, R) tại A và B cắt tiếp tuyến tại M của (O, R) lần lượt tại D và E. OD, OE cắt AB lần lượt tại F và G. Chứng minh OD.GF = OG.DE.
3) Tỡm giỏ trị lớn nhất của chu vi tam giỏc MAB theo R.
b) (1 điểm) Cho tam giỏc ABC. Xỏc định vị trớ của điểm M nằm trong tam giỏc ABC sao cho đạt giỏ trị nhỏ nhất.
Cõu 5 (2,0 điểm): 
	Cỏc số thực dương x, y, z thoả món điều kiện: x + y +z = 1.
	Tỡm giỏ trị nhỏ nhất của biểu thức:
_________________ Hết _________________
PHềNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO HUYỆN PHÙ NINH
HƯỚNG DẪN CHẤM THI CHỌN ĐỘI TUYỂN DỰ THI CẤP TỈNH 
Mụn : TOÁN 9 
Năm học 2015 - 2016
Cõu 1: (3,0 điểm)
n6 - n 4 + 2n3 + 2n2 = n2. (n4 - n2 + 2n +2) 
 = n2. [n2(n-1)(n+1) +2(n+1)]
 = n2[(n+1)(n3 - n2 + 2)] = n2(n + 1) . [(n3 + 1) - (n2 - 1)]
 = n2(n + 1)2 . (n2 - 2n + 2)
Với nN, n > 1 thỡ n2 - 2n + 2 = ( n -1)2 + 1 > ( n - 1)2
Và n2 - 2n + 2 = n2 - 2(n - 1) < n2
Vậy (n - 1)2 < n2 - 2n + 2 < n2
 => n2 - 2n + 2 hay n6 - n4 + 2n3 + 2n2 khụng phải là một số chớnh phương.
0,5
0,5
0,5
b) Ta cú x2 + x + 1 = (x + )2 + > 0
 5x2 + 11x + 7 = 5(x + > 0
Nờn (1 + x + x2 + x3) - (1 + x + x2) < 1+x+x2+x3 < (1+x+x2+x3) + (5x2 +11x +7)
x3 < 1 + x + x2 + x3 < (x + 2)3 hay x3 < y3 < (x + 2)3 . 
Do đú y3 = (x + 1)3
=>(x + 1)3 = 1 + x + x2 + x3 x(x + 1) = 0 
* x = 0 => y = 1
* x = -1 => y = 0
Vậy nghiệm nguyờn của PT là : (0;1), (-1;0)
0,5
0,5
0,5
Cõu 2: (4,0 điểm)
Đáp án
Điểm
a) 1 + x2 = (x + y)(x + z) 
 1 + x2 - x2 - (xy + yz + xz) = 0 vì xy + yz + xz = 1
1,5
b) x
0,5
 y
0,5
 z
0,5
 P = 2(xy + yz + xz) = 2
1,0
Cõu 3: (4,0 điểm)
a) Đặt 
0.25
ta được phương trỡnh 
0.25
Với t = -4 ta cú 
0.25
Với t =2 ta cú 
. Kết luận nghiệm của phương trỡnh.
0.25
b) ĐK: x2 + y2 > 0
0,75
Cộng vế với vế của hai pt ta được: 2xy + 3 = 3y x = 
từ (2) x2y + y3 - y + 3x = 0 thay x vào ta cú: 4y5 + 5y3 - 9y = 0
0,75
 y(4y4 + 5y2 - 9) = 0 
Với y = 1 x = 0
Với y = -1 x= 3∆
Thử lại thỏa món .Vậy nghiệm của hệ là (x;y) =
0,5
Cõu 4:
a) (6,0 điểm) 
a.2: (2,0đ)
Qua A kẻ tia tiếp tuyến Ax của (O). Ta cú 
A1 = O1 (Gúc nt và ở tõm cựng chắn cung AM) (1)
0.5
Cú Ax // MH (cựng vuụng gúc với OA) => A1 = M1 (2)
0.5
Tứ giỏc MHOK nội tiếp => O1 = K1 (cựng chắn cung MH ) (3)
0.5
Từ (1), (2), (3) ta cú M1 = K1 hay HKM = 2AMH
0.5
a.2: (2,0đ)
Cú tứ giỏc AOMD nội tiếp (4)
0.5
A1 = sđ BM; O1 = O2 = sđ BM
A1 = O1 tứ giỏc AMGO nội tiếp (5)
0.5
Từ (4), (5) ta cú 5 điểm A, D, M, G, O cựng nằm trờn một đường trũn
=> G1 = D2 = D1 
0.5
 và đồng dạng
 hay OD.GF = OG.DE.
0.5
a.3: (2,0 đ)
Trờn đoạn MC lấy điểm A’ sao cho 
MA’ = MA đều
A1 = A2 (=60O – BAA/
0.5
Chu vi tam giỏc MAB là 
0.5
Đẳng thức xảy ra khi MC là đường kớnh của (O) => M là điểm chớnh giữa cung AM => H là trung điểm đoạn AO
Vậy giỏ trị lớn nhất của chu vi tam giỏc MAB là 2R + AB
0.5
Gọi I là giao điểm của AO và BC 
Giỏ trị lớn nhất của chu vi tam giỏc MAB là 2R + AB = 
0.5
b) (1,0đ)
A
B
C
M
E
K
F
Gọi E, F lần lượt là hỡnh chiếu của B và C xuống AM. Gọi K là giao điểm của AM với BC
Ta cú:
hay 
Tương tự, ta được
Từ đú, ta được:
0,5
0,25
0,25
Đẳng thức xảy ra là trực tõm tam giỏc ABC.
Cõu 5: (2,0 điểm) 
Ta cú (dấu “=” xảy ra khi a = b)
Ta cú: ;
Tương tự:
Do đú 	
Do đú F đạt giỏ trị nhỏ nhất bằng khi x = y = z = 
0,5
0,5
0,5
0,5