Đề thi chọn đội tuyển dự thi học sinh giỏi cấp tỉnh năm học 2011 – 2012 môn thi: Toán 9

Phũng GD&ĐT huyện Yờn Thành
ĐỀ THI CHỌN ĐỘI TUYỂN DỰ THI HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH
NĂM HỌC 2011 – 2012 
Mụn thi : Toỏn 9
Thời gian làm bài: 120 phỳt
Cõu 1. (2điểm)
 a) Cho x, y thoả món 
 Tớnh giỏ trị của biểu thức A = x2011 + y2011
 b) Tìm một số có 4 chữ số vừa là số chính phương vừa là một lập phương.
 Cõu 2. (2 điểm)
 a) Giải phương trỡnh:
 b) Tỡm nghiệm nguyờn của phương trỡnh:
 x4 + x2 + 1 = y2
 Cõu 3. (2 điểm)
 a) Cho a, b, c là cỏc số dương thỏa món a + b + c = 6. 
 Chứng minh rằng:
 Dấu đẳng thức xẩy ra khi nào?
	b) Cho ba số dương a,b,c thoó món: 
Tỡm giỏ trị lớn nhất của M = abc
Cõu 4. (3 điểm)
 Cho tam giỏc ABC vuụng tại A, điểm M thuộc cạnh huyền BC. Gọi E, F lần lượt là hỡnh chiếu của điểm M trờn AB và AC.
Chứng minh: EA.EB + FA.FC = MB.MC
Chứng minh: 
Đặt . Hóy xỏc định vị trớ của điểm M trờn BC để tứ giỏc AEMF cú diện tớch lớn nhất ,tỡm giỏ trị lớn nhất đú theo S.
Cõu 5. (1 điểm)
 Cho hỡnh bỡnh hành ABCD với AC > BD. Gọi E và F lần lượt là chõn cỏc đường vuụng gúc kẻ từ C đến cỏc đường thẳng AB và AD. 
Chứng minh rằng: AB.AE + AD.AF = AC2 
------------------- Hết ----------------
Người coi thi khụng giải thớch gỡ thờm
ĐÁP ÁN VÀ BIỂU ĐIỂM
Đề thi chọn học sinh dự thi HSG tỉnh năm học 2011 – 2012 
Mụn thi: Toỏn 9
Cõu
Nội dung
Điểm
Cõu 1
2.0đ
a
1.0đ
Ta cú: 
0.5
Kết hợp với giả thiết suy ra 
0.25
Cộng theo từng vế của 2 đẳng thức trờn ta cú y + x = -x – y
suy ra x + y = 0 Do đú A= x2011 + y2011 = x2011 + (-x)2011 = 0 
0.25
b
1.0đ
Gọi số chính phương đó là . Vì vừa là số chính phương vừa là một lập phương nên đặt = x2 = y3 với x, y N
0.25
Vì y3 = x2 nên y cũng là một số chính phương.
0.25
Ta có : 1000 9999 10 y 21 và y chính phương 
 y = 16 = 4096
0.5
Cõu 2
2.0đ
a
1.0đ
Đặt t = 
0.5
Phương trỡnh đó cho trở thành: 
0.25
Với t = 1:
0.25
b 1.0đ
vỡ x2 với mọi x nờn:
( x4 + x2 + 1) –( x2 + 1 ) < x4 + x2 + 1 ( x4 + x2 + 1) + x2
0.25
do đú y2 =(x2+1)2
0.25
Suy ra (x2+1)2 = x4 + x2 + 1
 Suy ra y = 1
0.25
Nghiệm nguyờn (x; y) cần tỡm là (0;1); (0:-1)
Cõu 3
(2đ)
a
1.0đ
Áp dụng bất đẳng thức cụ si cho 3 số thực dương ta cú:
Suy ra P
0.25
Dấu đẳng thức xảy ra 
0.25
b
1.0đ
0.5
Tương tự:
0.25
Từ đú suy ra M = abc maxM = khi a = b = c = 1/2
0.25
Cõu 4
(3.0đ)
Cõu 5
1.0đ
a
1.0đ
A
B
C
M
E
F
EA.EB + FA.FC = MB.MC 
0.5
0.5
b
1.0đ
0.25
0.5
0.25
AEMF là hỡnh chữ nhật
c
1.0đ
Suy ra M là trung điểm của BC
0.25
0.25
0.25
0.25
A
B
C
D
F
E
H
Kẻ BHAC (HAC) H nằm giữa A và C
0.25
0.25
Vỡ <DAC = < HCB (sole trong) nờn hay AF.AD=AC.CH (2)
0.25
Từ (1) và (2) suy ra AB.AE + AD.AF= AC(AH + HC)=AC2
0.25
Chỳ ý: Mọi cỏch giải đỳng đều cho điểm tối đa