Đề ôn thi học sinh giỏi môn Toán Lớp 9

Cõu 1:đề hsg 08-09 
Cho đường tròn tâm O đường kính AB; Từ A và B ta vẽ hai dây cung AC và BD cắt nhau tại N. Hai tiếp tuyến Cx, Dy của đường tròn cắt nhau tại M. Gọi P là giao điểm của hai đường thẳng AD và BC. 
 a, Chứng minh PN vuông góc với AB.
 b, Chứng minh P,M,N thẳng hàng.
Câu 2 (định hoà) Cho DABC (AB = AC ) Biết = 800 .
Lấy điểm I nằm trong tam giác sao cho = 200; = 100
a, Lấy K đối xứng với i qua AC . Chứng minh rằng tứ giác AKCB nội tiếp .
b, Tính 
Câu 3: ( định liên) Cho tam giác ABC (AB <AC) . Đường tròn tâm O nội tiếp tam giác tiếp xúc với các cạnh AB,BC tại P và Q. Gọi E, F lần lượt là trung điểm của các cạnh AC,BC . Đường thẳng EF cắt tia AO tại M. Chứng minh rằng: 
Tứ giác OQMC nội tiếp được trong một dường tròn
3 điểm P, Q, M thẳng hàng
Câu 4:(l đ kiên) Cho đường tròn tâm O đường kính AB bán kính R. Tiếp tuyến tại điểm M bbất kỳ trên đường tròn (O) cắt các tiếp tuyến tại A và B lần lượt tại C và D.
a.Chứng minh : AC . BD = R2.
b.Tìm vị trí của điểm M để chu vi tam giác COD là nhỏ nhất .
Câu 5:(yên trường) Cho tam giác ABC. Phân giác AD (D ẻ BC) vẽ đường tròn tâm O qua A và D đồng thời tiếp xúc với BC tại D. Đường tròn này cắt AB và AC lần lượt tại E và F. Chứng minh
a) EF // BC
b) Các tam giác AED và ADC; AFD và ABD là các tam giác đồng dạng.
c) AE.AC = AF.AB = AC2
Bài 3 (Bài 85 tr141 SBT): Cho đg tròn (O) đg kính AB. Điểm M thuộc đg tròn, gọi N là điểm đối xứng với A qua M; BN cắt đg tròn ở C. gọi E là giao điểm của AC và BM
a) c/m NE ^ AB
N
N
b) Gọi F là điểm đối xứng với E qua M. c/m FA là tiếp tuyến của (O)
F
c) c/m FN là tiếp tuyến của đg tròn (B;BA)
M
M
HD c/m: a) Trong ∆ AMB có trung tuyến MO
C
E
Bằng cạnh tương ứng AB ⇒ ∠ AMB = 900
‘
O
B
A
⇒ BM ^ AN . c/m tương tự ta có AC ^ BN
⇒ AC, BM là 2 đường cao của ∆ NAB ⇒ E là
trực tâm ⇒ NE ^ AB
b) Tứ giác AENF có 2 đường chéo AN và EF cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường (gt) ⇒ AENF là hbh ⇒ NE ∥ FA mà NE ^ AB ⇒ FA ^ AB ⇒ FA là tiếp tuyến của đường tròn (O)
∆ ABN có BM vừa là đường cao vừa là trung tuyến ⇒ ∆ ABN cân tại B 
⇒ BA = BN và B1 = B2 ⇒ BN là bán kính của đường tròn (B;BA) (1)
Xét ∆ ABF và ∆ NBF có BA = BN; B1 = B2 (c/m trên) , cạnh BF chung ⇒ ∆ ABF = ∆ NBF (c.g.c) ⇒∠BNF = ∠ BAF mà ∠ BAF = 900 ⇒ ∠BNF = 900 ⇒ FN ^ NB (2)
Từ (1) và (2) ⇒ FN là tiếp tuyến của đg tròn (B;BA)
Bài 4: ( bài 86 tr141 SBT)
Cho đg tròn (O) đg kính AB, điểm C nằm giữa A và O, vẽ đg tròn (O/) có đg kính CB
a) Hai đg tròn (O) và (O/) có vị trí ntn với nhau
b)Kẻ dây DE của đg tròn (O) sao cho DE ^ AC tại trung điểm H của AC. Tứ giác ADCE là hình gì? c/m
c) Gọi K là giao điểm của DB và (O/) . c/m 3 điểm E, C, K thẳng hàng
d) c/m HK là tiếp tuyến của (O/)
D
HD c/m: 
K
a) OO/ = OB – O/B ( vì O/ nằm giữa O và B)
H
‘
‘
‘
A
A
B
hay d = R – r ⇒ (O) và (O/) tiếp xúc trong
O/
O
C
b)AB ^ DE (gt) tại H ⇒ HD = HE
E
Mặt khác HA = HC (gt) ⇒ ADCE là hbh ( có 2 đg chéo )
Mà AC ^ DE ⇒ ADCE là hình thoi
c)Ta có EC ∥ AD(), AD ^ DB (..)
⇒ CE ^ DB. Mặt khác CK ^ DB () ⇒ 3 điểm E, C, K thẳng hàng
Bài 3:
 x 
 y
 D
 M
 C
 N
 A B 
 H .0 
Cho nửa đường tròn tâm O ; đường kính AB . Vẽ các tiếp tuyến Ax ; By về cùng phía với nữa đường tròn . Qua điểm M thuộc nữa đường tròn ; kẽ tiếp tuyến thứ ba cắt Ax ; By theo thứ tự ở C ;D . C/m rằng :
a; MN vuông góc AB 
b; MN = NH 
Giải:
a; Ta có : Ax // By ( Vì theo t/c t tuyến thì 
chúng cùng vuông góc với AB) 
Theo hệ quả của định lí Ta Lét ta có : 
Mà AD= DM ; BE = EM ( Tc 2 tiếp tuyến )
=> => MN // BE 
 Mà EB vuông góc với AB
Suy ra MN vuông góc với AB 
b; Ta sẽ c/m được :
=> MN = NH 
Bài 2: Cho nửa đường tròn (O) đường kính AB, bán kính OC⊥ AB. Gọi M là điểm di động trên cung BC, AM cắt OC tại N
C/m tích AM.AN không đổi
Vẽ DC ⊥ AM.C/m tứ giác MNOB, AODC nội tiếp
C
C
Xác định vị trí của điểm M trên cung BC để cho ∆ COD cân tại D
M
HD c/m: GV HD học sinh c/m và trình bày bài làm
1
D
N
a) Xét ∆ AON và ∆ AMB có :
2
2
B
B
A
A
AON = AMB = 900 (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn)
O
Góc A chung; ⇒ ∆ AON ∽ ∆ AMB (g.g)
⇒ ⇒ AM.AN = AB.AO = R.2R = 2R2
không đổi 
Xét tứ giác ONMB có BON = 900(gt)
NMB = 900( góc nội tiếp chắn nửa đường tròn)
⇒ BON + NMB = 1800 ⇒ tứ giác ONMB nội tiếp đường tròn đường kính NB
Xét tứ giác AODC có AOC = ADC = 900 (gt) ⇒ tứ giác AODC có 2 đỉnh kề O và D cùng nhìn cạnh AC dưới góc 900 ⇒ O và C cùng nằm trên đường tròn đường kính AC ⇒ tứ giác AODC nội tiếp 
c) ∆ ODC cân tại D ⇔ DO = DC ⇔ OD = DC ⇔ A1 = A2 (2 góc nội tiếp chắn 2 cung bằng nhau)
⇒ MC = MB ⇒ M là điểm chính giữa cung BC