Đề ôn thi học sinh giỏi cấp huyện môn Toán Lớp 9 - Đề số 16 - Năm học 2017-2018

ÔN TẬP THI HỌC SINH GIỎI CẤP HUYỆN
 NĂM HỌC 2017 – 2018
ĐỀ THI SÔ 16
Thời gian làm bài: 150 phút
Câu 1. (4 điểm)
Giải phương trình: (3 điểm)
b) Tính giá trị biểu thức tại (2 điểm)
Câu 2. (4 điểm)
Cho biết x = by + cz; y = ax + cz; z = ax + by. Chứng minh rằng:
 (2 điểm)
Cho a, b, c > 0 và abc = 1. 
Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức P = (2 điểm)
Câu 3. (4 điểm)
	a) Cho số nguyên n không chia hết cho 2 và 3. Chứng minh rằng giá trị của biểu thức chia hết cho 6. (2 điểm)
	b) Chứng minh rằng giá trị biểu thức n6 – n2 chia hết cho 60 với mọi số nguyên n.
 (2 điểm) 
Câu 4. (5 điểm)
Cho đoạn thẳng AB = a , M là điểm nằm giữa A và B. Vẽ hai hình vuông AMCD và
BMEF cùng phía bờ AB. Gọi H là giao điểm của AE và BC.
Chứng minh ba điểm D, H, F thẳng hàng. (3 điểm)
b) Gọi Q là giao điểm của AC và DF. Chứng minh rằng khi điểm M di chuyển khoảng cách từ điểm Q đến đường thẳng AB luôn không đổi. (2 điểm)
Câu 5. (3 điểm)
	Gọi M , N lần lượt là trung điểm của các cạnh AD và BC của hình chữ nhật ABCD. Trên tia đối của tia DC lấy điểm P bất kì . Giao điểm của AC và đường thẳng PM là Q.
 Chứng minh rằng : 
 ==== hết ===
Câu 1. (4 điểm)
a)Giải phương trình: 
Áp dụng bất đẳng thức , xảy ra dấu đẳng thức cho vế trái của PT ta có: 
= VP
Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi 
Nghiệm của PT là: ; 
b)Tính giá trị biểu thức tại 
Giải: Đặt 
Ta có: 
Suy ra . Do đó: 
Câu 2. (4 điểm)
Cho biết x = by + cz; y = ax + cz; z = ax + by. Chứng minh rằng:
Giải:
+ Ta có: x + y = ax + by + 2cz = z + 2cz => x + y – z = 2cz
 (1)
+ y + z = 2ax + by + cz => y + z – x = 2ax 
 (2)
+ z + x = 2by + ax + cz = 2by + y => z + x – y = 2by 
 (3)
+ Cộng (1), (2), (3) vế theo vế ta được 
b) Chứng minh rằng với a, b, c > 0 và abc = 1.
Ta có: 
 (bđt đúng)
 Dấu bằng xảy ra khi a = b
Ta có 
Vậy 
Tương tự 
; 
Cộng vế theo vế => đpcm
Câu 3. (3 điểm)
	a)Cho số nguyên n không chia hết cho 2 và 3. Chứng minh rằng giá trị của biểu thức chia hết cho 6. 
Giải: + Vì n không chia hết cho 2 và 3 nên n = 6k + 1 hoặc n = 6k – 1 (Với k thuộc Z)
 + Nếu n = 6k + 1 thì 
 + Nếu n = 6k – 1 thì 
 + Vậy ..
b) Chứng minh rằng giá trị biểu thức n6 – n2 chia hết cho 60 với mọi số nguyên n.
Ta có: 60 = 3. 4. 5 
+ 
+ Ta có 
+ Nếu n chẳn thì n2 chia hết cho 4 
 n lẻ thi n – 1 và n + 1 là các số chẵn 
+ n2 chỉ có thể có chữ số tận cùng là 0; 1; 4; 5; 6; 9
+ Nếu n2 có chữ số tận cùng là 0 hoặc 5 thì 
 n2 có chữ số tận cùng là 1 hoặc 6 thì 
 n2 có chữ số tận cùng là 4 hoặc 9 thì 
 Suy ra 
+ Vì 3, 4, 5 đôi một nguyên tố cùng nhau nên B chia hết cho 60
Câu 6. (2 điểm) 
Cho x, y là hai số dương thỏa mãn . Chứng minh 
Ta có: 
Dấu “=” xảy ra khi ; 
 === hết===
Cho a, b là hai số thực bất kì thỏa mãn . Tính 
giá trị biểu thức 
Giải 
 (1)
Mặt khác từ giả thiết 
 (2)
Lấy (2) trừ (1) vế theo vế ta được