Đề ôn thi học sinh giỏi cấp huyện môn Toán Lớp 9 - Đề số 15 - Năm học 2017-2018

ÔN TẬP THI HỌC SINH GIỎI CẤP HUYỆN
 NĂM HỌC 2017 – 2018
ĐỀ THI SÔ 15
Thời gian làm bài: 150 phút
Câu 1. (4 điểm)
	a) Cho a, b, c là các số thực thỏa mãn a + b + c = 2018 và . Tính giá trị của biểu thức A = 
	b) Rút gọn biểu thức 
Câu 2. (3 điểm)
Giải phương trình 
Câu 3. (3 điểm)
 Tìm số tự nhiên y để chia hết cho 6, biết 
Câu 4. (5 điểm)
	Cho tam giác ABC nhọn, ba đường cao AD, BF, CE cắt nhau tại H. 	
Giả sử HB = 6cm; HF = 3cm; CE = 11 và CH > HE. Tính độ dài CH; EH.
Gọi I là giao điểm EF và AH. Chứng minh rằng 
c) Gọi K là điểm nằm giữa C và D. Kẻ AS vuông góc HK tại S. Chứng minh SK là phân giác của .
Câu 5. (3 điểm)
	Cho tam giác ABC, I là điểm nằm trong tam giác. Các tia AI, BI, CI cắt các cạnh BC, AC, AB lần lượt tại các điểm D, E, F. 
	Chứng minh rằng: 
Câu 6. (2 điểm) 
Cho x, y, z > 0. Chứng minh rằng 
 === hết===
HƯỚNG DẪN
Câu 1. (4 điểm)
	a) Cho a, b, c là các số thực thỏa mãn a + b + c = 2018 và . Tính giá trị của biểu thức A = 
Giải:
Thay a + b + c = 2018 vào ta được 
Ta có: 
Ta có: A = 
Mà nên A = 
b)Rút gọn biểu thức A = 
Đặt a = 
Vì a > 0 nên a = 
Và 
Vậy 
Câu 2. (3 điểm)
Giải phương trình (1) 
 ĐK: x 2
Đặt ta được PT 
+ (TM)
+ (vô nghiệm)
Vậy S = {- 2; 1}
Câu 3. (3 điểm)
 Tìm số tự nhiên y dể chia hết cho 6, biết 
Gợi ý , từ đó ta có hướng viết lại biểu thức dưới dạng tổng mới , loại trừ các hạng tử chia hết cho 3 từ đó tìm được điều kiện cho y.
Giải: Ta có 
+ Chỉ ra x3 – x chia hết chi 6
+ A chia hết cho 6 khi chia hết cho 6
 Dễ thấy 2, do đó A chia hết cho 6 khi y = 3k hay y = 3k -1 
Câu 5. (3 điểm)
	Cho tam giác ABC, I là điểm nằm trong tam giác. Các tia AI, BI, CI cắt các cạnh BC, AC, AB lần lượt tại các điểm D, E, F. 
	Chứng minh rằng: 
+ Kẻ qua A đường thẳng song song với BC cắt BE tại K, cắt CF tại H.
+ AH // BC suy ra & AK // BC suy ra 
 Do đó: (1)
+ AH // CD suy ra & AK // BD suy ra 
 Do đó: (2)
+ Từ (1) và (2) suy ra (3)
+ Chứng minh tương tự ta được: (4) & (6)
+ Cộng (3), (4), (5) vế theo vế ta được 
Áp dụng bất đẳng thức với a, b là hai số dương ta có , dấu = xảy ra khi và chỉ khi a = b
Do đó 
Vậy . Dấu = xảy ra khi BD = CD, EA = EC; FA = FB ó I là trọng tâm tam giác ABC
Chú ý: Có thể dùng diện tích để c/m
Câu 4. (5 điểm)
	Cho tam giác ABC nhọn, ba đường cao AD, BF, CE cắt nhau tại H. 	
Giả sử HB = 6cm; HF = 3cm; CE = 11 và CH > HE. Tính độ dài CH; EH.
Gọi I là giao điểm EF và AH. Chứng minh rằng 
c) Gọi K là điểm nằm giữa C và D. Kẻ AS vuông góc HK tại S. Chứng minh SK là phân giác của .
a) Chứng minh được HBE HCF (g.g)
Suy ra 
Đặt CH = x thì HE = 11 – x (với 0 < x < 11)
Ta có 
Vì CH + EH = 11; CH > EH nên CH = 9; HE = 2
b) Ta có cosA = nên AFE ABC (c.g.c)
 Suy ra 
 C/m tương tự ta được CFD CBA (c.g.c) suy ra 
Do đó . Mà . Vậy FB là phân giác của góc . lại có FA FB nên FA là phân giác ngoài của tam giác FID
Do đó theo t/c đường phân giác trong và ngoài ta có: (1)
c) Kẻ qua H đường thẳng song song AS cắt SI tại L, cắt SD tại M. Ta có SH ML nên cần c/m HM = HL
+ Ta có: HL // SA (2) và MH // SA (3)
Từ (1) , (2), (3) suy ra 
+ Tam giác SMH có nên tam giác LSM cân tại S => SK là p/giác của góc ISK
Câu 6. (2 điểm) 
Cho x, y, z > 0. Chứng minh rằng 
 (đúng)
 =============