Đề ôn tập môn Toán - Đề 18

Đề: 18
Câu 1: Cho hàm số . Mệnh đề nào sau đây là sai ?
	A. thì hàm số luôn có cực trị.
	B. Hàm số luôn luôn có cực đại và cực tiểu
	C. thì hàm số có cực đại và cực tiểu
	D. thì hàm số có cực trị
Câu 2: Tập xác định của hàm số là:
	A. 	B. 	C. 	D. 
Câu 3: Tìm m để đồ thị hàm số có đúng một đường tiệm cận đứng.
	A. 	B. 	
	C. 	D. 
Câu 4: Đồ thị hàm số có hai điểm cực trị nằm về hai phía của trục Oy. Khẳng định nào sau đây là đúng ?
	A. 	B. 	C. 	D. 
Câu 5: Cho hàm số có đồ thị (C) và đường thẳng . Khẳng định nào sau đây là đúng ?
	A. Đồ thị (C) luôn cắt đường thẳng d tại ba điểm phân biệt.
	B. Đồ thị (C) luôn cắt đường thẳng d tại đúng hai điểm
	C. Đồ thị (C) luôn cắt đường thẳng d tại điểm có hoành độ nhỏ hơn 1
	D. Đồ thị (C) luôn cắt đường thẳng d tại đúng một điểm
Câu 6: Hàm số nghịch biến trên khoảng nào?
	A. 	B. 	C. 	D. 
Câu 7: Đồ thị hàm số có mấy điểm cực trị ?
	A. 0	B. 1	C. 2	D. 3
Câu 8: Với giá trị nào của m để đường thẳng đi qua trung điểm của đoạn nối hai điểm cực trị của đồ thị hàm số ?
	A. 	B. 	C. 	D. 
Câu 9: Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số trên đoạn là:
	A. 	B. 
	C. 	D. 
Câu 10: Đồ thị hàm số không có tiệm cận ngang khi và chỉ khi :
	A. 	B. 	C. 	D. 
Câu 11: Một người nông dân có 15 000 000 đồng để làm một cái hàng rào hình chữ E dọc theo một con sông (như hình vẽ) để làm một khu đất có hai phần chữ nhật để trồng rau. Đối với mặt hàng rào song song với bờ sông thì chi phí nguyên vật liệu là 60 000 đồng một mét, còn đối với ba mặt hàng rào song song nhau thì chi phí nguyên vật liệu là 50 000 đồng một mét. Tìm diện tích lớn nhất của đất rào thu được 
	A. 	B. 	C. 	D. 
Câu 12: Tìm nghiệm của bất phương trình 
	A. 	B. 	C. 	D. 
Câu 13: Tìm m để phương trình sau có đúng ba nghiệm: 
	A. 	B. 	C. 	D. 
Câu 14: Tìm tập xác định của hàm số: 
	A. 	B. 
	C. 	D. 
Câu 15: Giả sử các số logarit đều có nghĩa, điều nào sau đây đúng ?
	A. 	B. 
	C. 	D. Cả ba phương án trên đều sai.
Câu 16: Nếu thì:
	A. 	B. 	C. 	D. 
Câu 17: Tính đạo hàm của hàm số sau: 
	A. 	B. 
	C. 	D. 
Câu 18: Cho . Khi đó:
	A. 	B. 	C. 	D. 
Câu 19: Đạo hàm của hàm số là :
	A. 
	B. 
	C. 
	D. 
Câu 20: Phát biểu nào sau đây sai ?
	A. Hai hàm số và có cùng tính đơn điệu.
	B. Hai đồ thị hàm số và đối xứng nhau qua đường thẳng 
	C. Hai hàm số và có cùng tập giá trị
	D. Hai đồ thị hàm số và đêu có đường tiệm cận.
Câu 21: Khi quan sát quá trình sao chép tế bào trong phòng thí nghiệm sinh học, nhà sinh vật học nhận thấy các tế bào tăng gấp đôi mỗi phút. Biết sau một thời gian t giờ thì có 100 000 tế bào và ban đầu có 1 tế bào duy nhất. Tìm t.
	A. phút	B. phút	C. phút	D. phút
Câu 22: Một công ty phải gánh chịu nợ với tốc độ đô la mỗi năm, với trong đó t là số lượng thời gian (tính theo năm) kể từ công ty bắt đầu vay nợ. Đến năm thứ tư công ty đã phải chịu 1 626 000 đô la tiền nợ nần. Tìm hàm số biểu diễn tốc độ nợ nần của công ty này ?
	A. 	B. 
	C. 	D. 
Câu 23: Tính thể tích của khối tròn xoay được tạo nên khi quay hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số với trục hoành quanh trục hoành:
	A. đvtt	B. đvtt	C. đvtt	D. Không tính được 
Câu 24: Tính tích phân 
	A. 	B. 	C. 	D. 
Câu 25: Tốc độ thay đổi doanh thu (bằng đô la trên một máy tính) cho việc bán x máy tính là , biết . Tìm tổng doanh thu khi bán được mười hai máy tính đầu tiên.
	A. 5973984 đô la	B. 1244234 đô la	C. 622117 đô la	D. 2986992 đô la
Câu 26: Tìm khẳng định đúng trong các khẳng định sau:
	A. 	B. 
	C. 	D. 
Câu 27: Tính tích phân 
	A. 	B. 	C. 	D. 
Câu 28: Số phức có điểm biểu diễn là:
	A. 	B. 	C. 	D. 
Câu 29: Cho 
Tìm mệnh đề không đúng trong các mệnh đề sau:
	A. 	B. 
	C. 	D. phương án B và C sai
Câu 30: Tính 
	A. 	B. 	C. 	D. 
Câu 31: Tìm biết rằng z có phần thực bằng hai lần phần ảo và điểm biểu diễn z nằm trên đường thẳng .
	A. 	B. 	C. 	D. 
Câu 32: Tìm số phức z biết rằng điểm biểu diễn của z nằm trên đường tròn có tâm O, bán kính bằng 5 và nằm trên đường thẳng 
	A. 	B. 	C. 	D. 
Câu 33: Cho phương trình . Nếu là nghiệm của phương trình thì bằng
	A. -13	B. 13	C. 45	D. -45
Câu 34: Cho , tập hợp các điểm biểu diễn z có đồ thị là (đối với các đồ thị có gạch chéo thì tập hợp điểm là cả phần gạch chéo và cả biên):
	A. 	B. 
	C. 	D. 
Câu 35: Số bằng số nào dưới đây ?
	A. 0	B. i	C. 	D. 
Câu 36: Một hộp đựng chocolate bằng kim loại có hình dạng lúc mở nắp như hình vẽ dưới đây. Một phần tư thể tích phía trên của hộp được dải một lớp bơ sữa ngọt, phần còn lại phía dưới chứa đầy chocolate nguyên chất. Với kích thước như hình vẽ, gọi là giá trị làm cho hộp kim loại có thể tích lớn nhất, khi đó thể tích chocolate nguyên chất có giá trị là . Tìm .
	A. 48 đvtt	B. 16 đvtt	C. 64 đvtt	D. đvtt
Câu 37: Một hình trụ có bán kính đáy là 2cm và có thiết diện qua trục là một hình vuông. Tính thể tích của khối trụ.
	A. 	B. 	C. 	D. 
Câu 38: Hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông cân tại A và , . Tính bán kính của mặt cầu ngoại tiếp hình chóp?
	A. 	B. 	C. a	D. 
Câu 39: Cho hình nón đỉnh S có đường tròn đáy bán kính 1cm, nội tiếp trong hình vuông ABCD. Biết . Tính thể tích của khối chóp S.ABCD.
	A. 	B. 	C. 	D. 
Câu 40: Từ cùng một tấm kim loại dẻo hình quạt như hình vẽ có kích thước bán kính và chu vi hình quạt là , người ta gò tấm kim loại thành những chiếc phễu theo hai cách:
	1. Gò tấm kim loại ban đầu thành mặt xung quanh của một cái phễu.
	2. Chia đôi tấm kim loại thành 2 phần bằng nhau rồi gò thành mặt xung quanh của hai cái phễu.
Gọi V1 là thể tích của cái phễu thứ nhất, V2 là tổng thể tích của hai cái phễu ở cách 2. Tính ?
	A. 	B. 	C. 	D. 
Câu 41: Một hình trụ có bán kính đáy là 53cm, khoảng cách giữa hai đáy là 56cm. Một thiết diện song song với trục là một hình vuông. Tính khoảng cách từ trục đến mặt phẳng cắt ?
	A. 36 cm	B. 45 cm	C. 54 cm	D. 55 cm
Câu 42: Hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a và . Kẻ AH vuông góc với SB và AK vuông góc với SD. Mặt phẳng (AHK) cắt SC tại E. Tính thể tích khối cầu ngoại tiếp khối ABCDEHK.
	A. 	B. 	C. 	D. 
Câu 43: Cho tam giác ABC có diện tích bằng và nằm trong mặt phẳng . Nếu điểm là đỉnh của hình chóp S.ABC thì thể tích của khối chóp này bằng:
	A. 	B. 	C. 	D. 
Câu 44: Cho ba điểm . Điểm M thuộc đường thẳng AB khi và chỉ khi:
	A. 	B. 	C. 	D. 
Câu 45: Cho điểm và đường thẳng . Mặt phẳng chứa điểm M và đường thẳng d có phương trình là:
	A. 	B. 	
	C. 	D. 
Câu 46: Cho điểm và hai mặt phẳng lần lượt có phương trình:
	;	
Mệnh đề nào sau đây là đúng?
	A. đi qua A và song song với 
	B. không qua A và không song song với 
	C. đi qua A và không song song với 	
	D. không qua A và song song với 
Câu 47: Cho mặt phẳng và điểm . Phương trình mặt cầu tâm I tiếp xúc với mặt phẳng 
	A. 	B. 
	C. 	D. 
Câu 48: Xác định m để bốn điểm và tạo thành tứ diện
	A. 	B. 	C. 	D. 
Câu 49: Xác định m để hai mặt phẳng sau vuông góc với nhau:
	 và 
	A. 	B. 	C. 	D. 
Câu 50: Cho mặt cầu và mặt phẳng . (S) và (P) tiếp xúc với nhau khi:
	A. 	B. 	C. 	D. 
Đáp án
1-B
6-B
11-A
16-C
21-A
26-C
31-A
36-A
41-B
46-A
2-C
7-A
12-D
17-A
22-C
27-C
32-B
37-C
42-B
47-A
3-D
8-A
13-D
18-A
23-A
28-A
33-A
38-B
43-A
48-B
4-A
9-A
14-C
19-A
24-A
29-D
34-B
39-B
44-C
49-A
5-D
10-A
15-A
20-C
25-A
30-B
35-A
40-B
45-A
50-A
LỜI GIẢI CHI TIẾT
Câu 1: Đáp án B
Phân tích: Vì đây là bài toán xét tính đúng sai của mệnh đề nên ta cần đi xem xét từng mệnh đề một. Vì đây là bài toán về cực trị nên trước tiên ta đi tìm đạo hàm của hàm số sau đó xét phương trình để tìm kết luận cho bài toán.
Xét phương trình , ta cùng nhớ lại bảng các dạng đồ thị của hàm số bậc ba mà tôi vẫn thường nhắc các bạn ở trang 35 sách giáo khoa cơ bản. Nhận thấy ở tất cả các mệnh đề đều nói là hàm số có cực trị, nghĩa là trước tiên ta cần đi tìm điều kiện để hàm số có cực trị là điều kiện chung. Như ở bảng trang 35 SGK giải tích thì để đồ thị hàm số có cực trị thì phương trình phải có hai nghiệm phân biệt. Khi đó:
. Từ đây ta thấy mệnh đề C đúng, cả A và D cũng đúng. Vậy mệnh đề sai là B. Nhiều quý độc giả lúc thấy luôn lớn hơn bằng 0 thì cho rằng với mọi m phương trình luôn có nghiệm là sai. Vậy nên hãy để ý thật kĩ và tránh mắc sai lầm.
Câu 2: Đáp án C
Phân tích: Ở bài toán này có hai điều kiện hàm số xác định:
Điều kiện thứ nhất là điều kiện để căn có nghĩa, điều kiện thứ hai là điều kiện để phân thức có nghĩa, do vậy ta có lời giải như sau:
Vậy ta chọn luôn đáp án C.
Câu 3: Đáp án D
Phân tích: Đây là dạng bài tìm tiệm cận, ta cùng nhớ lại kiến thức sách giáo khoa như sau:
Đường thẳng được gọi là đường tiệm cận đứng (hay tiệm cận đứng) của đồ thị hàm số nếu ít nhất một trong các điều kiện sau được thỏa mãn:
Vậy để đồ thị hàm số chỉ có đúng một một tiệm cận đứng thì phải thỏa mãn một trong các điều kiện trên. Nhận thấy đây là hàm phân thức có bậc tử nhỏ hơn bậc mẫu khi đó tiệm cận đứng là giá trị làm cho đa thức dưới mẫu không xác định, do đó để đồ thị hàm số có duy nhất một tiệm cận đứng thì phương trình có duy nhất một nghiệm, hoặc phương trình có một nghiệm và một nghiệm khác .
TH1: phương trình có duy nhất một nghiệm khi và chi khi phương trình có nghiệm kép
TH2: phương trình có một nghiệm bằng -1 một nghiệm khác -1, khi đó ta có
Thử lại thấy với phương trình có hai nghiệm phân biệt (thỏa mãn)
Vậy đáp án của chúng ta là D
Phân tích sai lầm: ở đây nhiều quý độc giả quên TH2 và thiếu TH và chọn đáp án. Hãy xem xét một cách tổng quan để có đầy đủ các TH của bài toán.
Câu 4: Đáp án A
Phân tích: Nhận thấy đây là đồ thị hàm số bậc ba có hai điểm cực trị, lại tiếp tục là một bài toán nữa cần quý độc giả nhớ lại các dạng đồ thị của hàm số bậc ba trang 35 sách giáo khoa giải tích 12 cơ bản. Do đồ thị hàm số có thể tịnh tiến theo chiều song song với trục Oy nhưng chiều theo trục Ox thì cố định nên đồ thị trên có hai điểm cực trị trong đó điểm cực đại và điểm cực tiểu nằm về hai phía của trục Oy. Nhìn dạng đồ thị và so sánh với bảng thì ta nhận thấy, để thỏa mãn điều kiện như đồ thị trên ta có:
Để phương trình hàm số thỏa mãn yêu cầu đề bài thì phương trình luôn có hai nghiệm phân biệt và hai nghiệm đó trái dấu và .
Xét phương trình 
 (do a, c trái dấu nên luôn lớn hơn 0)
Câu 5: Đáp án D
Phân tích: Với bài toán này, đọc các mệnh đề ta thấy nói về giao điểm, vì thế, ta xét phương trình hoành độ giao điểm của hai đồ thị hàm số 
Vậy phương trình hoành độ giao điểm luôn có duy nhất một nghiệm, vậy đáp án đúng của ta là D.
Phân tích sai lầm: Nhiều bạn không để ý đây là căn bậc ba là bậc lẻ, do đó bị rối ở phần này, và có thể chọn đáp án C là sai
Câu 6: Đáp án B
Phân tích: Xét phương trình 
Nhận xét: Như ở đề số 5, tôi đã gọi ý một mẹo cho quý độc giả đó là: dạng đồ thị. Do đây là đồ thị hàm bậc ba và có , có hai điểm cực trị nên đồ thị hàm số sẽ có dạng chữ N (đây chỉ là mẹo quy ước) như sau:
Nhìn vào cách chúng ta vẽ nhanh nháp như vậy, ta nhận thấy rõ hàm số nghịch biến trên do đồ thị đi xuống.
Nếu quý độc giả vạch hình chữ N ra nháp sẽ rất nhanh hơn so với việc quý đọc giả vẽ BBT, xét dấu . Do vậy, việc nhớ bảng dạng đồ thị trong sách giáo khoa mà tôi hay nhắc đến sẽ có ích rất nhiều cho quý độc giải trong quá trình làm bài.
Câu 7: Đáp án A
Phân tích: Đây là hàm số bậc ba, vậy để tìm được số điểm cực trị của đồ thị hàm số ta chỉ cần xét số nghiệm của phương trình .
Ta có . Vậy đồ thị hàm số không có điểm cực trị.
Câu 8: Đáp án A
Phân tích: Trước tiên ta đi tìm tọa độ hai điểm cực trị của đồ thị hàm số, từ đó tìm được trung điểm của đoạn thẳng nối hai điểm cực trị, thế vào phương trình đường thẳng đã cho, từ đó ta dễ dàng tìm ra m.
. Khi đó tọa độ trung điểm của AB là 
Thế vào phương trình đường thẳng ta được 
Đáp án A.
Câu 9: Đáp án A
Phân tích: Bài toán tìm Min-Max của hàm số trên một đoạn là bài toán lấy điểm, ta chỉ cần xét các điểm có hoành độ làm cho cùng các điểm đầu mút, so sánh các giá trị của y và tìm Min Max, điều quan trọng là quý độc giả cần cẩn thận trong tính toán
Xét phương trình 
Khi đó ta có
Cách tìm các giá trị lớn nhất nhỏ nhất trong các giá trị ở trong tập hợp nhanh nhất, ta chỉ cần nhập biểu thức vào máy tính và ấn CALC rồi lần lượt thay các giá trị của X rồi tự so sánh là được.
Câu 10: Đáp án A
Phân tích: Ta cùng nhắc lại kiến thức về tiệm cận ngang như sau:
Cho hàm số xác định trên một khoảng vô hạn. Đường thẳng là tiệm cận ngang của đồ thị hàm số nếu một trong các điều kiện sau thỏa mãn:
Lúc này ta xét
Lúc này ta thấy để đồ thị hàm số không có tiệm cận ngang thì không tồn tại thì không xác định . Đáp án A.
Câu 11: Đáp án D
Phân tích: ta đặt các kích thước của hàng rào như hình vẽ:
Từ đề bài ban đầu ta có mối quan hệ sau: Do bác nông dân trả 15 000 000 đồng để chi trả cho nguyên vật liệu và đã biết giá thành từng mặt nên ta có mối quan hệ:
Diện tích của khu vườn sau khi đã rào được tính bằng công thức:
Đến đây ta có hai cách để tìm giá trị lớn nhất của diện tích:
Cách 1: Xét hàm số trên một khoảng, vẽ BBT và kết luận GTLN:
Xét hàm số trên 
Ta có BBT:
x
0 50 100
 + 0 -
 6250
Cách 2: Nhẩm nhanh như sau: Ta biết rằng với mọi x, nên ta có thể nhẩm nhanh được:
Hoặc bấm máy tính phần giải phương trình bậc hai và ấn bằng nhiều lần máy sẽ hiện như sau:
Vậy ta có kết quả của bài toán
Câu 12: Đáp án D
Phân tích: Đây là bài toán giải bất phương trình mũ
Đáp án D. Tuy nhiên đến đây nhiều bạn nhầm rằng số mũ < 0 thì đổi chiều bất đẳng thức và chọn ý A là sai. Hãy nhớ rằng ta cần xét cơ số để tìm dấu của bất phương trình
Ta nhắc lại các kiến thức sau
Với thì và ngược lại
Với thì và ngược lại
Câu 13: Đáp án D
Phân tích: Tương tự như bài toán giải bất phương trình phía trên ta có:
Đặt . Nhận thấy để phương trình có đúng ba nghiệm thì phương trình có một nghiệm , một nghiệm 
Tức là một nghiệm và một nghiệm 
Khi đó 
Với thì phương trình 
Câu 14: Đáp án C
Phân tích: Ta có để hàm số xác định thì cần hai điều kiện. Điều kiện thứ nhất là điều kiện để logarit xác định, điều kiện thứ hai là điều kiện để căn thức xác định.
Nên ta có: 
Câu 15: Đáp án A
Phân tích: Ta có thể nhận thấy luôn đáp án A đúng, đáp án B và C sai do thiếu điều kiện của cơ số a nên so sánh như vậy là sai. Còn đáp án D, rõ ràng A đúng không sai, do vậy đáp án D cũng sai.
Câu 16: Đáp án C
Phân tích: Ta có . Do vậy ta cần biến đổi về 
Ta có
. Đáp án C
Một cách khác nếu quý độc giả nhẩm chậm, quý độc giả có thể bấm máy tính để thử đáp án. Trong lúc làm bài thi, hãy tìm phương án làm bài tối ưu thời gian nhất nhé!
Câu 17: Đáp án A
Phân tích: Ta xét đạo hàm của hàm số 
. Ta áp dụng công thức đạo hàm như sau:
Khi đó 
Câu 18: Đáp án A
Phân tích: Để so sánh được hai số, ta cần xét xem cơ số nằm trong khoảng nào?
Ta có thể thấy 
Hoặc nếu ta có thể bấm máy tính để xét khoảng của a. Như ở câu 12 của đề này, tôi đã nhắc lại kiến thức, ta có thể suy ra được m > n
Câu 19: Đáp án A
Phân tích: Đây là bài toán gỡ điểm, do đó, ta cần cẩn thận trong từng chi tiết.
(áp dụng công thức )
(chú ý rằng )
Phân tích sai lầm:
1. Nhiều quý độc giả nhầm phần công thức đạo hàm của một tích như sau: 
2. Nhiều quý độc giải quên công thức đạo hàm hàm hợp dẫn đến sai lầm như sau: chọn luôn phương án D.
Sai lầm tiếp theo đó là có nhớ công thức nhưng lại sai trong biến đổi như sau:
 (sai do ) vì thế chọn luôn phương án B.
Nhân thấy rõ ràng chỉ là một bài toán đạo hàm nhưng có thể bị sai ở rất nhiều chỗ, hãy cẩn thận trong tính toán và đạt kết quả đúng đắn.
Một cách khác là quý độc giả có thể dùng máy tính, sử dụng nút SHIFT để thử từng đáp án bằng cách thay giá trị bất kì.
Câu 20: Đáp án C
Phân tích: Bài toàn tìm tính đúng sai, do đó ta cần đi xét từng mệnh đề một.
Với mệnh đề A: Ta thấy trong khoảng cả hai hàm số đều nghịch biến. Do vậy phương trình A đúng.
Với mệnh đề B: Đây là một ví dụ trong sách giáo khoa Giải tích 12 cơ bản trang 76/77. Từ đó đã có nhận xét. Vì thế đây là mệnh đề đúng
Với mệnh đề C: Với thì tập giá trị của hàm số là . Còn hàm số thì lập giá trị là . Vậy đây là mệnh đề sai. Ta không cần phải xét đến mệnh đề D nữa.
Câu 21: Đáp án A
Phân tích: Đây là bài toán đơn giản sử dụng ứng dụng của số mũ.
Do ban đầu có một tế bào duy nhất nên
Sau phút sao chép thứ nhất số tế bào là: 
Sau phút sao chép thứ hai số tế bào là: 
.
Sau phút sao chép thứ t số tế bào là: 
 phút
Câu 22: Đáp án C
Phân tích: Thực chất đây là bài toán tìm nguyên hàm. Ta có thể dễ dàng nhận thấy: bài toán cho đạo hàm của một hàm số, công việc của chúng ta là đi tìm nguyên hàm:
Vì đến năm thứ tư công ty đã chịu 1610640 tiền nợ nần nên số tiền mà công ty vay năm đầu sẽ được tính
Vậy công thức tính tiền nợ nần sẽ như sau:
Phân tích sai lầm:
Sai lầm thứ nhất: Nhiều độc giả khi tìm ra được nguyên hàm của hàm số sẽ cộng thêm C luôn như bài toán tìm nguyên hàm bình thường. Tuy nhiên ở đây khoảng nợ vay ban đầu đã cố định, tức là hằng số C đã cố định. Ta cần tìm hằng số để cộng thêm vào công thức.
Sai lầm thứ hai: Nhiều quý độc giả cộng luôn với 1610640 luôn nên dẫn đến sai lầm.
Sai lầm thứ ba: Không nhớ công thức 
Câu 23: Đáp án A
Phân tích: Đầu tiên khi đọc đề bài chắc hẳn quý độc giả sẽ thấy đề bài có vẻ thiếu dữ kiện về các phương trình giới hạn. Tuy nhiên nếu nhìn kĩ ta sẽ nhận ra phương trình 
Đây là đồ thị phương trình đường tròn tâm bán kính bằng 6. Khi nó quay hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số với trục hoành quanh trục hoành chính là khối cầu tâm bán kính bằng 6.
Thể tích của khối cầu được tính bằng công thức:
 (đvtt)
Câu 24: Đáp án A
Phân tích: Đây là dạng tính tích phân từng phần, tuy nhiên có hai cách làm dạng bài này, cách làm thứ nhất là tính bình thường. Cách làm thứ hai là bấm máy tính và thử (cách làm này khá đơn giản, quý độc giả chỉ cần ấn máy tính và xem nó là kết quả và chọn, rất đơn giản nên tôi xin phép không giới thiệu ở đây nữa).
Sau đây tôi xin giới thiệu cách làm theo toán học thông thường:
. Đặt 
Khi đó 
= 
= 
Câu 25: Đáp án A
Phân tích: Tương tự như bài 22, chúng ta sẽ đi tìm nguyên hàm và thay vào công thức:
Nhận thấy: 
. Nhận thấy đây là :"tốc độ thay đổi doanh thu (bằng đô la trên một máy tính) cho việc bán x máy tính" nên . Do vậy ta cần thay vào sẽ được
Câu 26: Đáp án C
Phân tích: Đây là bài toán tìm khẳng định sai, do vậy, ta cần xem xét từng phương án một
* Với phương án A: . Cách làm của chúng ta nếu không tự nhận ra được bằng suy luận thì quý độc giả có thể lấy hiệu của hai tích phân này bằng máy tính như sau:
Vậy mệnh đề sai
* Với phương án B: Tiếp tục đây là một tích phân khá phức tạp, nên việc suy luận sẽ tốn thời gian hơn nhiều so với bấm máy tính, vì vậy ta bấm máy tính như sau:
Vậy đây cũng là mệnh đề sai
* Với phương ác C: Tiếp tục ta lại bấm máy tính, xét hiệu hai tích phân, nếu như không bằng 0 có nghĩa hai tích phân không bằng nhau:
Vậy đây là mệnh đề đúng, ta chọn C và không cần xét đến phương án D nữa
Nhận xét, với bài toán này, bấm máy tính là phương pháp nhanh nhất để tiết kiệm thời gian.
Câu 27: Đáp án C
Phân tích: Nhận xét . Do vậy ta có thể biến đổi như sau:
Chú ý: hãy để ý đặc điểm của tích phân đề bài, và đưa về dạng đơn giản. Ở bài toán này quý độc giả có thể bấm máy tính cho nhanh, tôi không giới thiệu ở đây vì nó khá đơn giản.
Câu 28: Đáp án A
Phân tích: Ta cùng nhắc lại kiến thức giáo khoa như sau:
Điểm biểu diễn số phức trong mặt phẳng vuông góc là điểm 
Vậy chính là điểm biểu diễn số phức . Đây là bài toán đơn giản, vì thế quý độc giả cần cẩn thận trong tính toán, trong nhẩm.
Câu 29: Đáp án D
Phân tích: Đề bài cho rằng tìm mệnh đề không đúng, do vậy ta sẽ đi xem xét từng phương án một,
* Với phương án A: Nhận thấy
Vậy đây là phương án đúng.
* Với phương án B: Ta có
. Vậy đây là phương án đúng.
*Với phương án C: Nhận thấy ở phần phương án mẫu số có dạng nên ta sẽ nhân thêm số phức liên hợp vào để tạo ra 
Đây là phương án đúng
Vậy theo phương pháp loại trừ ta chỉ có phương án D. Rõ ràng B và C đúng nhưng ở phương án D lại nói B và C sai, do đó rõ ràng D là phương án không đúng, do vậy ta chọn D.
Câu 30: Đáp án B
Phân tích: Bài toán khá đơn giản, ta chỉ cần bấm máy tính là được. Ở đây bước đầu tiên ta cần chuyển máy tính sang chết độ tính toán với