Đề kiểm tra số 13 - Toán 12

ĐỀ KIỂM TRA SỐ 13
Ngày 07tháng 10 năm 2015
Câu 1.(2,0 điểm). Cho hàm số (Cm)
a. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số khi .
b. Tìm các giá trị của m để đồ thị hàm số (Cm) cắt trục Ox tại 3 điểm phân biệt.
Câu 2.(1,0 điểm). Giải phương trình: 
Câu 3.(1,0 điểm). Giải hệ phương trình sau: 
Câu 4.(1,0 điểm). 
Cho khai triển (1 + 2x)10 (x2 + x + 1)2 = a0 + a1x + a2x2 +  + a14x14. Hãy tìm giá trị a6. 
Từ các chữ số có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên có sáu chữ số và thỏa mãn điều kiện: sáu chữ số của mỗi số là khác nhau và trong mỗi số đó tổng của ba chữ số đầu nhỏ hơn tổng của ba chữ số cuối một đơn vị.
Câu 5.(2,0 điểm). 
Trong mặt phẳng Oxy, cho hình chữ nhật ABCD có diện tích bằng 12 và tâm I là giao điểm của hai đường thẳng . Trung điểm của AD là giao điểm của d1 và trục Ox. Tìm tọa độ các đỉnh của hình chữ nhật ABCD
Trong mặt phẳng Oxy cho điểm, đường tròn (C) có phương trình . Tìm tọa độ điểm B, C thuộc đường tròn (C) để tam giác ABC đều.
Câu 6.(1,0 điểm). Tính giới hạn: 
Câu 7.(1,0 điểm). 
 Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông tại A, . Hai mặt phẳng (SAB) và (SAC) cùng tạo với mặt đáy (ABC) góc 600. Tính thể tích khối chóp S.ABC và khoảng cách từ B tới mặt phẳng (SAC) theo a biết mặt phẳng (SBC) vuông góc với đáy (ABC).
Câu 8.(1,0 điểm). Cho a, b, c, d là các số thực dương thỏa mãn . 
Chứng minh rằng: 
HƯỚNG DẪN GIẢI ĐỀ SỐ 12
Câu
NỘI DUNG
Điểm
1.1
Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số .
1.0
+ TXĐ: 
+ Sự biến thiên: Ta có: . 
0,25
+ Hàm số đã cho đồng biến trên các khoảng và .
+ Hàm số không có cực trị
+ Giới hạn, tiệm cận.
 đồ thị hàm số có tiệm cận đứng là đường thẳng: . 
 đồ thị hàm số có tiệm cận ngang là đường thẳng ;
0,25
 + Bảng Biến thiên
0,25
+ Đồ thị hàm số cắt trục tại điểm , trục tại điểm 
0,25
1.2
 Tìm tất cả các giá trị thực của tham số để đường thẳng cắt đồ thị () tại hai điểm phân biệt sao cho độ dài đoạn thẳng nhỏ nhất.
1.0
 - Phương trình hoành độ giao điểm của và là (1) ().
0,25
 Vì với nên (1) có 2 nghiệm phân biệt khác 1 với . Suy ra cắt tại hai điểm phân biệt với .
0,25
Gọi các giao điểm của và là: với ; là các nghiệm của phương trình (1) . Theo Viet có: . 
Ta có 
0,25
Vậy nhỏ nhất bằng đạt được khi .
0,25
2
Giải phương trình: .
1.0
Điều kiện: 
Ta có: 
0,25
Đặt ta được: 
0,25
Với (thoả mãn).
Với (loại)
Với (thoả mãn)	
0,25
Vậy nghiệm của phương trình đã cho là: ; ()
0,25
3
Giải hệ phương trình: 
1.0
 Đk: . 
Phương trình 
0.25
Trường hợp thế vào (2) không thoả mãn.
0.25
Trường hợp thế vào phương trình (2): 
Xét hàm 
 ; 
Vậy hàm số đồng biến trên ; mà 
Suy ra phương trình (3) có nghiệm duy nhất 
0.25
Với (thỏa mãn điều kiện)
Vậy nghiệm của hệ phương trình là: .
0.25
4
Tìm tất cả các giá trị thực của tham số để phương trình: có hai nghiệm thực phân biệt.
1.0
- Tập xác định: 
- Ta có: 
0.25
- Ta có: , 
  ; 
0.25
- Bảng biến thiên:
0.25
- Từ bảng biến thiên ta được thỏa mãn.
0.25
5.1
Cho số nguyên dương thỏa mãn . Tìm hệ số của trong khai triển nhị thức Niu-tơn (với ).
0.5
- Đk: 
- Ta có: 
 (thỏa mãn).
0.25
- Với ta có : 
- Hệ số của là trong đó :
 Vậy hệ số của là: .
0.25
5.2
Cho số nguyên dương thỏa mãn . Tìm số hạng không chứa trong khai triển nhị thức Niu-tơn (với ).
Đk :. Ta có 
 (thỏa mãn)
0.25
Với ta có 
Số hạng không chứa ứng với .
Vậy số hạng không phụ thuộc là .
0.25
6.1
Trong mặt phẳng với hệ trục toạ độ , cho các điểm và đường thẳng . Viết phương trình đường tròn đi qua và sao cho tiếp tuyến của () tại và cắt nhau tại một điểm thuộc .
1.0
- Giả sử hai tiếp tuyến của () tại cắt nhau tại .
- Phương trình đường thẳng là: .
- Gọi là tâm của đường tròn ;là trung điểm 
0.25
phương trình của đường thẳng là 
0.25
 + Giả sử 
Mà 
0.25
Vậy  ; bán kính của là : 
Vậy đường tròn có phương trình là 
0.25
6.2
Trong mặt phẳng với hệ trục tọa độ , cho elíp đi qua điểm và có độ dài trục lớn bằng . Tìm tọa độ của điểm thuộc () sao cho .
1.0
Giả sử phương trình của là: .()
Vì độ dài trục lớn bằng 6 nên .
0.25
Vì .
0.25
+) Giả sử , ta có hệ phương trình: 
0.25
Vậy có 4 điểm : ;; ; .
0,25
7
Cho hình chóp có đáy là hình thang cân với ;
; cạnh bên vuông góc với mặt phẳng ; tạo với mặt phẳng một góc bằng . Tính thể tích của khối chóp và diện tích mặt cầu ngoại tiếp hình chóp theo .
1.0
- Vì ; nên là đáy lớn; là đáy nhỏ của hình thang . Gọi là trung điểm của .
- Ta có các tứ giác ; là các hình thoi và các tam giác ; ; là các tam giác đều cạnh là tâm đường tròn ngoại tiếp .
 - Ta có: (đvdt). 
0.25
- Trong hình thoi , ta có: 
- Trong tam giác vuông có góc 
 (đvtt)
0.25
- Gọi là trung điểm của đường thẳng là trục của đường tròn ngoại tiếp đa giác đáy nên .
- Mặt khác tam giác vuông tại đỉnh 
 hay là tâm mặt cầu ngoại tiếp hình chóp .
0.25
- Bán kính của mặt cầu đó là: .
- Diện tích của mặt cầu đó là: (đvdt)
0.25
8
Cho là các số thực dương thoả mãn: . Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức: 
1.0
- Đặt 
- Ta có: 
Lại có: nên 
. 
 - Khi đó: với 
0.25
- Xét hàm với ; 
 ; 
0.25
 - Ta có bảng biến thiên của hàm số trên 
0.25
- Từ bảng biến thiên suy ra , dấu “ = ” xảy ra khi 
Vậy lớn nhất bằng () đạt được khi .
0.25