Đề kiểm tra học sinh giỏi môn Toán Lớp 9 - Vòng 1 - Năm học 2017-2018 - Sở GD & ĐT Tân Bình (Có đáp án)

ĐỀ KIỂM TRA 
HỌC SINH GIỎI VÒNG 1 LỚP 9
Quận TÂN BÌNH (2017-2018)
]]]
(NGÀY THI: 26- 8 -2017)
Bài 1: (2 điểm) 
Rút gọn M.
Tìm x nguyên dương để M nhận giá trị nguyên.
 Bài 2: (6 điểm) Giải các phương trình và hệ phương trình sau:
Bài 3: ( 2 điểm)
Cho a, b là các số dương thỏa ab =1. Tím giá trị nhỏ nhất của biểu thức: 
Cho số x thỏa mãn điều kiện: . Tính giá trị của biểu thức: 
Bài 4: (4 điểm) Cho đường tròn (O;R) và điểm A nằm ngoài đường tròn sao cho . Từ A vẽ các tiếp tuyến AB, AC với đường tròn (B, C là các tiếp điểm). Lấy D thuộc AB; E thuộc AC sao cho chu vi của tam giác ADE bằng 2R.
Chứng minh DE là tiếp tuyến của đường tròn (O; R)
Tìm giá trị lớn nhất của diện tích .
Bài 5: (3 điểm) Trong tam giác ABC, các điểm D, E, F tương ứng nằm trên các cạnh BC, CA, AB sao cho: , , . Cho AB = 5cm, BC = 8cm, CA = 7cm. Tính độ dài đoạn thẳng BD.
Bài 6: (2 điểm)
Nhân dịp nghỉ hè, Ba bạn An dự định đưa cả gia đình đi tắm biển tại Vũng Tàu bằng xe ôtô. Xe khởi hành lúc 6 giờ từ Thành phố Hồ Chí Minh đến Vũng Tàu với quãng đường dài 120km. Vì trời mưa nên một phần tư quãng đường đầu, xe phải chạy chậm hơn vận tốc dự định là 20 km/h và dừng chân nghỉ ngơi 15 phút. Để kịp đến Vũng Tàu theo dự định, nên quãng đường còn lại xe phải chạy nhanh hơn vận tốc dự định là 30 km/h. Hỏi gia đình bạn An đến Vũng Tàu lúc mấy giờ?
Trên mặt phẳng cho 99 điểm phân biệt sao cho từ 3 điểm bất kì trong số chúng đều tìm được 2 điểm có khoảng cách nhỏ hơn 1. Chứng minh rằng tồn tại một hình tròn có bán kính bằng 1 chứa không ít hơn 50 điểm. 
ê HẾT ê "	
HƯỚNG DẪN ĐỀ KIỂM TRA 
HỌC SINH GIỎI VÒNG 1 LỚP 9
Quận TÂN BÌNH (2017-2018)
Bài 1: (2 điểm) 
Rút gọn M.
Tìm x nguyên dương để M nhận giá trị nguyên.
 Bài 2: (6 điểm) Giải các phương trình và hệ phương trình sau:
Điều kiện: 
Ta có: . Dấu ‘’=’’ xảy ra khi (vô lí)
Vậy .
Nhân cả hai vế của phương trình với , ta có:
So với điều kiện, ta nhận 
Vậy 
Bài 3: ( 2 điểm)
Cho a, b là các số dương thỏa ab =1. Tím giá trị nhỏ nhất của biểu thức: 
Áp dụng bất đẳng thức Cô-si, ta có: (do ab = 1)
Áp dụng bất đẳng thức Cô-si, ta có: 
Do đó: .
Vậy . Dấu ‘’=’’ xảy ra khi a = b = 1.
Cho số x thỏa mãn điều kiện: . Tính giá trị của biểu thức: 
Ta có: (do x > 0)
Ta có: 
Ta có: 
Bài 4: (4 điểm) Cho đường tròn (O;R) và điểm A nằm ngoài đường tròn sao cho . Từ A vẽ các tiếp tuyến AB, AC với đường tròn (B, C là các tiếp điểm). Lấy D thuộc AB; E thuộc AC sao cho chu vi của tam giác ADE bằng 2R.
Chứng minh DE là tiếp tuyến của đường tròn (O; R)
Tìm giá trị lớn nhất của diện tích .
Bài 5: (3 điểm) Trong tam giác ABC, các điểm D, E, F tương ứng nằm trên các cạnh BC, CA, AB sao cho: , , . Cho AB = 5cm, BC = 8cm, CA = 7cm. Tính độ dài đoạn thẳng BD.
Bài 6: (2 điểm)
Nhân dịp nghỉ hè, Ba bạn An dự định đưa cả gia đình đi tắm biển tại Vũng Tàu bằng xe ôtô. Xe khởi hành lúc 6 giờ từ Thành phố Hồ Chí Minh đến Vũng Tàu với quãng đường dài 120km. Vì trời mưa nên một phần tư quãng đường đầu, xe phải chạy chậm hơn vận tốc dự định là 20 km/h và dừng chân nghỉ ngơi 15 phút. Để kịp đến Vũng Tàu theo dự định, nên quãng đường còn lại xe phải chạy nhanh hơn vận tốc dự định là 30 km/h. Hỏi gia đình bạn An đến Vũng Tàu lúc mấy giờ?
Gọi x (km/h) là vận tốc dự định ban đầu (x > 20)
15 phút 
Thời gian xe dự định đi từ Thành phố Hồ Chí Minh đến Vũng Tàu là 
Vận tốc xe chạy trên một phần tư quãng đường đầu là 
Vận tốc xe chạy trên ba phần tư quãng đường cuối là 
Một phần tư quãng đường đầu là 
Ba phần tư quãng đường cuối là 
Thời gian xe chạy trên một phần tư quãng đường đầu là 
Thời gian xe chạy trên ba phần tư quãng đường cuối là 
Theo để bài, ta có: phương trình: 
Trên mặt phẳng cho 99 điểm phân biệt sao cho từ 3 điểm bất kì trong số chúng đều tìm được 2 điểm có khoảng cách nhỏ hơn 1. Chứng minh rằng tồn tại một hình tròn có bán kính bằng 1 chứa không ít hơn 50 điểm. 
 " ê HẾT ê "