Đề kiểm tra học sinh giỏi lớp 9 – Số 2 môn: Toán

ĐỀ KIỂM TRA HỌC SINH GIỎI LỚP 9 – SỐ 2
 Năm học: 2015 – 2016 
 Mụn: Toỏn
Bài 1(3 điểm):
 a) Tỡm nghiệm tự nhiờn của phương trỡnh: x + xy + y = 9.
 b) Với a, b là cỏc số nguyờn. Chứng minh rằng nếu chia hết cho 5 thỡ chia hết cho 5.
Bài 2(4 điểm):
 a) Cho . 
Tớnh với .
 b) Cho a, b, x, y là cỏc số thực thoả món: và . 
Chứng minh rằng: 
Bài 3 (4 điểm ): 
 a) Giải phương trỡnh: 
 b) Giải hệ phương trỡnh sau : 
Bài 4 (7 điểm ): 
Cho đường trũn tõm O, đường kớnh BC cố định và một điểm A chuyển động trờn nửa đường trũn (A khỏc B và C). Hạ AH vuụng gúc với BC (H thuộc BC). Trờn nửa mặt phẳng bờ BC chứa A dựng hai nửa đường trũn tõm P đường kớnh HB và tõm Q đường kớnh HC, chỳng lần lượt cắt AB và AC tại E và F.
 a) Chứng minh rằng: AE.AB = AF.AC.
 b) Gọi I và K lần lượt là hai điểm đối xứng với H qua AB và AC. Chứng minh rằng ba điểm I, A, K thẳng hàng.
 c) Chứng minh tỷ số khụng đổi.
 d) Xỏc định vị trớ điểm A để diện tớch tứ giỏc PEFQ đạt giỏ trị lớn nhất, tỡm giỏ trị đú. 
Bài 5 (2 điểm ): 
 Cho x;y;z dương sao cho 
 Tỡm giỏ trị lớn nhất của .
--------HẾT--------
HƯỚNG DẪN CHẤM ĐỀ SỐ 2
Môn Toán 9
Câu
Nội dung
Chia điểm
I.a
a.1,5 điểm 
- Từ (gt) ta cú :(x + 1)(y + 1) = 10 ; vỡ 10 = 1.10 = 2.5
- Vỡ x,y N 
- Lập bảng ta tỡm được 4 nghiệm (x ;y) =(0 ;9) ;(9 ;0) ;(1 ;4) ;(4 ;1) 
0,75
0,75
I.b
b.1,5 điểm 
- Ta cú :
 ( Vỡ 5 là số nguyờn tố) 
- Ta cú: (đpcm)
0,5
0,25
0,5
0,25
II
Cõu a(2 điểm)
0,5
0,5
0,5
0,5
Cõu b(2 điểm)
Ta có: nên 
Từ đó: 
KL:
1
1
III
Cõu a(2 điểm)
Giải phương trình: 
ĐK: 
+ Sử dụng bất đẳng thức cô si hoặc Bu nhi a đánh giá VT 2
+ Đánh giá VP 
Do đó: PT 
KL.
0,5
0,75
0,75
III
Cõu b(2 điểm)
Từ (gt) ta cú :3x2-xy -2y2 =0 ú(x-y)(3x+2y)=0 ú x=y hoặc x = y
- Nếu x = y thay vào (1) ta được x = 1 ;x = -1
- Nếu x = y Thay vào hệ ta được hệ vụ nghiệm
KL : Hệ phương trỡnh cú 2 nghiệm (x ;y) =(1 ;1) ;(-1 ;-1).
1
1
IV
IV
Cõu a(1 điểm)
Xét tam giác vuông ABH có HEAB
 AB.AE = AH2 (1)	
Xét tam giác vuông ACH có HFAC
 AC.AF = AH2 (2)
Từ (1) và (2) suy ra AE.AB = AF.AC.
0,5
0,5
IV
 Góc IAH bằng 2 lần góc BAH
Góc KAH bằng 2 lần góc CAH
Suy ra góc IAH + góc KAH =2( góc BAH + góc CAH) = 1800
Suy ra I, A và K thẳng hàng
IV
Cõu c(2 điểm)
Ta cú: AH2 = BH.CH ị AH4 = BH2 .CN2 = BE.BA.CF.CA = BE.CF.AH.BC ị AH3 = BE.CF.BC ị = 1
IV
Cõu d(2 điểm)
SPQFE = . Mà FEPQ hay FE ị SPQFE Dấu đẳng thức xảy ra khi A là điểm chớnh giữa của nửa đường trũn tõm O, đường kớnh BC.
V
(2 điểm)
HD Áp dụng BĐT 1a + 1b ≥ 4a+b với a; b là cỏc số dương. Ta cú:
 13x+3y+2z = 12x+y+z+(x+2y+z)≤14 ( 12x+y+z + 1x+2y+z) = 14(1x+y+(x+z) + 1x+y+(y+z))
 ≤14 [14( 1x+y + 1x+z)+ 14( 1x+y + 1y+z)] = 116 ( 2x+y + 1y+z+1x+z)
Tương tự
13x+2y+3z ≤116 ( 1x+y + 1y+z+2x+z)
12x+3y+3z ≤116 ( 1x+y + 2y+z+1x+z)
Cộng từng vế của bất đẳng thức ta được:
13x+3y+2z+13x+3y+2z+13x+3y+2z ≤116 2x+y + 1y+z+1x+z+116 ( 1x+y + 1y+z+2x+z) +116 ( 1x+y + 2y+z+1x+z) = 14(1x+y + 1y+z + 1z+x) = 32