Đề kiểm tra học kỳ 1 (2015-2016) môn: Toán 12 – nâng cao

TRƯỜNG THPT CHUYÊN 
NGUYỄN THỊ MINH KHAI 
-----o0o----- 
ĐỀ KIỂM TRA HỌC KỲ 1 (2015-2016) 
 MÔN: TOÁN 12 – NÂNG CAO 
Thời gian: 120 phút 
-----///----- 
Họ và tên : ..Lớp:  SBD: . 
Câu 1. (3,0 điểm) 
Cho hàm số 4 2
1 3
3
2 2
y x x . 
1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị ( )C của hàm số đã cho. 
2) Viết phương trình tiếp tuyến d của đồ thị ( )C tại điểm có hoành độ 
0
1x . Tìm 
tọa độ giao điểm của d và đồ thị ( )C . 
Câu 2. (1,0 điểm) 
Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số 
 3
4
( ) cos sin
3
f x x x trên đoạn 0;
2
. 
Câu 3. (3,0 điểm) 
1) Giải phương trình 2.25 7.10 5.4 0x x x . 
2) Giải bất phương trình log log .ln( 3) 1x e x . 
3) Cho hàm số 
2
( ) ln
2
xxf x xe x . Tìm tập xác định của hàm số ( )f x và 
giải bất phương trình ( ) 0f x . 
Câu 4. (3,0 điểm) 
Cho hình chóp .S ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a , cạnh bên SAvuông 
góc với đáy, góc giữa đường thẳng SC và mặt đáy bằng 60 . 
1) Tính theo a thể tích khối chóp .S ABCD . 
2) Tính theo a khoảng cách giữa hai đường thẳng SC và AB . 
3) Tính theo a diện tích mặt cầu ngoại tiếp hình chóp .S ABCD . 
-------------------HẾT-------------------
1 
ĐÁP ÁN VÀ THANG ĐIỂM 
CÂU ĐÁP ÁN ĐIỂM 
Câu 1 
(3 điểm) 
1. (2 điểm) 4 2
1 3
3
2 2
y x x 
a) Tập xác định D 0,25 
b) Sự biến thiên 
+) Đạo hàm: 32 6y x x ; 
0
0
3
x
y
x
. 
0,25 
+) Giới hạn: lim ; lim .
x x
y y 0,25 
+) Bảng biến thiên 
x 3 0 3 
y 0 0 0 
y 
 3 2 
 3 3 
0,25 
+) Chiều biến thiên: 
 Hàm số đồng biến trên mỗi khoảng ( 3;0) và ( 3; ) ; nghịch biến trên 
mỗi khoảng ( ; 3) và (0; 3) . 
 0,25 
+) Cực trị: Hàm số đạt cực đại tại 0x ; 
3
(0)
2
y . 
Hàm số đạt cực tiểu tại 2x ; ( 3) 3y . 
 0,25 
c) Đồ thị 
0,50 
2 
2. (1 điểm) 
Khi 
0
1x thì 
0
( ) 1y x và 
0
( ) 4y x . 0,25 
Phương trình tiếp tuyến d của đồ thị (C) tại điểm có hoành độ
0
1x là 
4( 1) 1y x hay 4 3y x . 
0,25 
Hoành độ giao điểm của d và (C) là nghiệm của pt: 
 4 2
1 3
3 4 3
2 2
x x x 
 4 26 8 3 0x x x 2 2( 1) ( 2 3) 0x x x 
1
3
x
x
0,25 
 Suy ra tọa độ các giao điểm của d và (C) là: (1; 1) , ( 3;15) . 0,25 
Câu 2 
(1 điểm) 
34( ) cos sin
3
f x x x trên đoạn 0;
2
. 
Ta có ( )f x xác định và liên tục trên đoạn 0;
2
; 
 2( ) sin 4 sin cosf x x x x . 
0,25 
Với 0;
2
x , ( ) 0 sin .( 1 2sin2 ) 0f x x x 
1 5
sin2 ;
2 12 12
x x . 
0,25 
Ta có 
3 6 2
(0) 1, ,
12 6
5 3 6 2 4
; .
12 6 2 3
f f
f f
. 
0,25 
Giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của ( )f x trên đoạn 0;
2
 lần lượt là 
3 6 2
6
 và 
3 6 2
6
. 
0,25 
3 
Câu 3 
(3 điểm) 
1) Giải phương trình 2.25 7.10 5.4 0x x x . 
+) Ta có, 2.25 7.10 5.4 0x x x 
2
5 5
2. 7. 5 0
2 2
x x
 (1). 
0,25 
+) Đặt 
5
2
x
t , phương trình (1) trở thành 22 7 5 0t t (2). 
 Ta có, (2) 1t hoặc 
5
2
t . 
0,25 
+) Với 1t , ta được 
5
1 0
2
x
x . 0,25 
+) Với 
5
2
t , ta được 
5 5
1
2 2
x
x . 
 Các nghiệm của phương trình đã cho là 0x và 1x . 
0,25 
 2) (1 điểm) Giải bất phương trình log log .ln( 3) 1x e x . 
+) ĐK: 0x (*). Ta có 
 log log .ln( 3) 1 log log( 3) 1x e x x x 
0,25 
log ( 3) 1x x ( 3) 10x x 0,25 
2 3 10 0 5 2x x x . 0,25 
 Kết hợp với (*), ta được tập nghiệm bất phương trình đã cho là (0;2). 0,25 
3) (1,0 điểm) Cho 
2
( ) ln
2
xxf x xe x .  
+) Tập xác định của hàm số ( )f x là (0; )D . 0,25 
 Ta có:
1
( ) (1 ) xf x x x e
x
 ( 0)x . 0,25 
Ta có: 
1
(1 )) 0( 0 x
x
x e
x
f x 0,25 
4 
+) Với 0x thì 
1
0x
x
e
x
 và 
1
(1 ) 0 1 0 1x
x
x e x x
x
. 
Suy ra tập nghiệm cần tìm là (0;1) . 
0,25 
Câu 4 
(1 điểm) 
1) (1 điểm) Tính theo a thể tích khối chóp .S ABCD . 
60°
O
D
A
B C
S
H
Vì ( )SA ABCD nên AC là 
hình chiếu của SC trên mặt 
phẳng ( )ABCD và 
( ,( )) 60SCA SC ABCD ; 
0,25 
ABCD là hình vuông cạnh a 
nên 2AC a và 2
ABCD
S a 
0,25 
Tam giác SAC vuông tại A 
nên tan 6SA AC SCA a 
0,25 
3
2
.
1 1 6
. . 6.
3 3 3S ABCD ABCD
a
V SAS a a . 0,25 
2) (1 điểm) Tính theo a khoảng cách giữa hai đường thẳng SC và AB . 
Ta có : ( ) ( , ) ( ,( ))AB CD AB SCD d AB SC d A SCD 0,25 
Cách 1. Ta có: 
2 31 1 6
. . .a 6.
3 3 2 6ASCD ACD
a a
V SAS ; 0,25 
Tam giác SAC vuông tại A , có 2 2 2 2SC SA AC a ; 
Tam giác SAD vuông tại A , có 2 2 7SD SA AD a . 
Xét tam giác SCD có nửa chu vi 
2 2 7 1
2
p a , áp dụng công thức 
Heron, ta tính được 2
7
2SCD
S a . 
0,25 
5 
3
2
6
33 426( ,( ))
77
2
ASCD
SCD
a
V a
d A SCD
S
a
. 
Vậy, 
42
( , ) ( ,( ))
7
a
d AB SC d A SCD . 
0,25 
Cách 2. Gọi H là hình chiếu của A trên SD . Ta có: SA CD (do 
( )SA ABCD ) và AB CD (do ABCD là hình vuông), suy ra 
( )CD SAD . Từ đó, CD AH . Lại vì SD AH , nên ( )AH SCD . 
Vây ( ,( ))d A SCD AH . 
0,50 
Tam giác SAD vuông tại A và có AH là đường cao nên 
2 2 2 2
. 6. 4
( 6)
2
7
AS AD a a a
AH
AS AD aa
 . 
 Vậy, 
42
( , ) ( ,( ))
7
a
d AB SC d A SCD AH . 
0,25 
 3) (1 điểm) Tính theo a diện tích mặt cầu ngoại tiếp hình chóp .S ABCD . 
Ta có: SA CD (do ( )SA ABCD ) và AB CD (do ABCD là hình 
vuông), suy ra ( )CD SAD . Từ đó, CD SD . Tương tự, CB SB . Ta 
cũng có, SA AC (do ( )SA ABCD ). 
0,25 
Các điểm , ,A B D nhìn đoạn SC dưới một góc vuông. Nếu gọi O là 
trung điểm SC thì 
2
SC
OB OA OD OS OC . Suy ra, mặt cầu 
ngoại tiếp hình chóp .S ABCD có tâm là O 
0,25 
 và bán kính 2 2
1 1
2
2 2
r SC SA AC a . 0,25 
Diện tích mặt cầu ngoại tiếp hình chóp .S ABCD là 
 2 2 2( 2)4 4 8S aar . 
0,25 
-------------------HẾT-------------------