Đề kiểm tra chọn học sinh giỏi lớp 9 quận 5 (năm 2016 - 2017)

CỔNG TY CỔ PHẦN GIÁO DỤC THĂNG TIẾN THĂNG LONG 
16-17 
Trụ sở chính:766/36-766/38 CMT8, P.5, Q. TÂN BÌNH, 38 420 372 – 38 460 835 
Trang 1 www.thangtienthanglong.edu.vn 
1 
Bài 1: (2 điểm) 
a) Rút gọn biểu thức 
5 2 9 5 19 7 5
A
2 5 2
   


b) Cho a 3 5 2 3 3 5 2 3      
Tính giá trị biểu thức 
4 3 2
2
a 4a a 6a 9
B
a 2a 5
   

 
Bài 2: (2 điểm) 
a) Cho hai số a, b thỏa 1 a 1; 1 b 1      . Chứng minh rằng: 
2
2 2
a b
1 a 1 b 2 1
2
 
     
 
b) Giải phương trình sau: 
x 8
x 3 13 x
5

    
Bài 3: (2 điểm) 
a) Cĩ hai số nguyên dương x, y thỏa mãn phương trình x + y + xy = 30 hay khơng ? Hãy giải thích ? 
b) Cho biểu thức 
2
2
2x bx c
P
x 1
 


. Tìm các giá trị của b và c để biểu thức P cĩ giá trị nhỏ nhất là 1 
và giá trị lớn nhất là 3. 
Bài 4: (1,5 điểm) 
Cho hình thoi ABCD cĩ 
0
BAD 50 , O là giao điểm của AC và BD, H là hình chiếu của O trên cạnh AB. 
Trên tia đối của tia BC lấy điểm M, trên tia đối của tia DC lấy điểm N sao cho HM song song với AN. 
Chứng minh hai tam giác MBO và ODN đồng dạng. Tính số đo MON . 
Bài 5 : (1,5 điểm) 
Cho ABC , D là điểm cố định trên cạnh BC (khác B, C), một đường thẳng d di động song song với BC 
lần lượt cắt hai cạnh AB và AC tại M và N. Chứng minh 
DMN ABC
1
S S
4
 
 . Dấu bằng xảy ra khi đường 
thẳng d cĩ vị trí đặc biệt nào, vì sao ? 
Bài 6 : (1 điểm) 
Cơ Mai lái xe đi chơi. Trên đường đi, bất ngờ cĩ một con chĩ chạy ra phía trước đầu xe khiến cơ phải đạp 
mạnh vào chân phanh để tránh. Trong lịng lo ngại, cơ Mai quyết định quay về nhà. 
Đồ thị dưới đây là bảng ghi đơn giản biểu diễn vận tốc của chiếc xe theo thời gian : 
ĐỀ KIỂM TRA CHỌN 
HỌC SINH GIỎI LỚP 9 
Quận 5 (2016-2017) 
CỔNG TY CỔ PHẦN GIÁO DỤC THĂNG TIẾN THĂNG LONG 
16-17 
Trụ sở chính:766/36-766/38 CMT8, P.5, Q. TÂN BÌNH, 38 420 372 – 38 460 835 
Trang 2 www.thangtienthanglong.edu.vn 
2 
0
Thời gian
vận tốc
(km /h)
9:12
72
9:00 9:04
Cơ Mai lái xe
9:08
60
48
36
24
12
a) Cơ Mai đạp mạnh vào chân phanh để tránh con chĩ vào lúc mấy giờ ? 
b) Từ đồ thị, em hãy cho biết đoạn đường về nhà của cơ Mai dài hay ngắn hơn quãng đường cơ đã đi 
từ nhà đến nơi xảy ra sự cố với con chĩ ? Hãy giải thích câu trả lời của em. 
Tính quãng đường từ nhà đến nơi xảy ra sự cố và quãng đường từ đĩ về nhà. 
  HẾT   
Bài 1: (2 điểm) 
a) Rút gọn biểu thức 
5 2 9 5 19 7 5
A
2 5 2
   


Ta cĩ: 
2
7 5 5 2 7 5 7 5 5 2 7 5
A
2 5 2 2 5 2
7 5 5 2 7 5 1
2
2 5 2
           
 
 
 
    
 

HƯỚNG DẪN ĐỀ KIỂM TRA TUYỂN 
HỌC SINH GIỎI LỚP 9 
Quận 5 (2016-2017) 
CỔNG TY CỔ PHẦN GIÁO DỤC THĂNG TIẾN THĂNG LONG 
16-17 
Trụ sở chính:766/36-766/38 CMT8, P.5, Q. TÂN BÌNH, 38 420 372 – 38 460 835 
Trang 3 www.thangtienthanglong.edu.vn 
3 
b) Cho      a 3 5 2 3 3 5 2 3 . Tính giá trị biểu thức 
   

 
4 3 2
2
a 4a a 6a 9
B
a 2a 5
Ta cĩ:      a 3 5 2 3 3 5 2 3 , a > 0 
 
 
 
2
2 2
2
2 2
2 2
a 3 5 2 3 2 3 5 2 3 3 5 2 3 3 5 2 3
a 6 2 9 5 2 3 a 6 2 4 2 3
a 6 2 3 1 a 6 2 3 1
a 6 2 3 2 a 4 2 3
a 4 2 3 do a > 0 a 3 1
               
  
        
       
      
     
Thế a 3 1  vào biểu thức 
4 3 2
2
a 4a a 6a 9
B
a 2a 5
   

 
, ta được: 
       
   
       
 
 
4 3 2
2
2
3 1 4 3 1 3 1 6 3 1 9
B
3 1 2 3 1 5
4 2 3 4 3 3 9 3 3 1 4 2 3 6 3 1 9
4 2 3 2 3 2 5
16 16 3 12 4 6 3 10 4 2 3 6 3 6 9
7
16 16 3 12 24 3 40 4 2 3 6 3 6 9
7
1
       

   
         

   
        

        


Bài 2: (2 điểm) 
a) Cho hai số a, b thỏa 1 a 1; 1 b 1      . Chứng minh rằng: 
2
2 2
a b
1 a 1 b 2 1
2
 
     
 
Áp dụng bất đẳng thức  x y 2 x y   , ta cĩ: 
   2 2 2 2 2 2 2 21 a 1 b 2 1 a 1 b 1 a 1 b 2 2 a b              (1) 
Ta cĩ: 
CỔNG TY CỔ PHẦN GIÁO DỤC THĂNG TIẾN THĂNG LONG 
16-17 
Trụ sở chính:766/36-766/38 CMT8, P.5, Q. TÂN BÌNH, 38 420 372 – 38 460 835 
Trang 4 www.thangtienthanglong.edu.vn 
4 
 
 
 
   
2
2 2
2
2 2
2
2 2
2
a b
2 2 a b 2 1
2
a b
2 2 a b 4 1
2
4 2a 2b 4 a b
a b 0 bất đẳng thức đúng
 
     
 
  
       
   
     
  
Do đĩ, ta cĩ:  
2
2 2
a b
2 2 a b 2 1
2
 
    
 
 (2) 
Từ (1) và (2), ta suy ra 
2
2 2
a b
1 a 1 b 2 1
2
 
     
 
b) Giải phương trình sau: 
x 8
x 3 13 x
5

    
Điều kiện: 3 x 13  . 
Ta cĩ: 
x 8
x 3 13 x
5

    (1) 
      
     
   
    
   
 
 
x 8
x 3 13 x x 3 13 x x 3 13 x do x 3 13 x 0
5
x 8
x 3 13 x x 3 13 x
5
x 8
2 x 8 x 3 13 x 0
5
2 5 x 8 x 8 x 3 13 x 0
x 8 2 5 x 3 13 x 0
x 8 nhận
x 3 13 x 2 5 2

              

       

      
       
       
  
 

    
Giải (2), x 3 13 x 2 5    
Cách 1: 
CỔNG TY CỔ PHẦN GIÁO DỤC THĂNG TIẾN THĂNG LONG 
16-17 
Trụ sở chính:766/36-766/38 CMT8, P.5, Q. TÂN BÌNH, 38 420 372 – 38 460 835 
Trang 5 www.thangtienthanglong.edu.vn 
5 
  
     
 
2 2
2
(2) x 3 2 x 3 13 x 13 x 20
x 3 13 x 5 x 3 13 x 25
13x x 39 3x 25 x 16x 64 0
x 8 0 x 8
       
       
        
    
So với điều kiện, ta nhận x = 8. 
Cách 2: Dùng bất dẳng thức Cơ-si. 
Áp dụng bất đẳng thức Cơ-si, ta cĩ: 
   
   
 
1
5 x 3 5 x 3
2
5 x 3 13 x 10 x 3 13 x 2 5
1
5 13 x 5 13 x
2

   
         
    

Dấu ‘’=’’ ở phương trình (2) xảy ra khi 
5 x 3
x 8
5 13 x
  
 
 
Vậy  S 8 
Bài 3: (2 điểm) 
a) Cĩ hai số nguyên dương x, y thỏa mãn phương trình x + y + xy = 30 hay khơng ? Hãy giải thích ? 
Ta cĩ :   x y xy 30 x y xy 1 31 x 1 y 1 31            
Vì x, y là hai số nguyên dương nên   x 1 2;y 1 2 x 1 y 1       là hợp số 
Mà 31 là số nguyên tố, nên khơng cĩ hai số nguyên dương x, y thỏa mãn phương trình x + y + xy = 30. 
b) Cho biểu thức 
2
2
2x bx c
P
x 1
 


. Tìm các giá trị của b và c để biểu thức P cĩ giá trị nhỏ nhất là 1 
và giá trị lớn nhất là 3. 
Vì 
2
x 1 0. x   nên P xác định x R  . 
Gọi  là một giá trị của biểu thức P. 
Phương trình sau cĩ ngiệm: 
2
2
2x bx c
x 1
 
 

Ta cĩ :  
2
2 2 2
2
2x bx c
2x bx c x 2 x bx c 0
x 1
 
             

 
2
2 2 2
2
2x bx c
2x bx c x 2 x bx c 0
x 1
 
             

2
b c
x x 0
2 2

   
 
( 2  , GTLN của P là 3, GTNN của P là 1 ) 
 
  
 
2
2
2
b 4 c 2b
x
2 2 4 2
    
   
   
CỔNG TY CỔ PHẦN GIÁO DỤC THĂNG TIẾN THĂNG LONG 
16-17 
Trụ sở chính:766/36-766/38 CMT8, P.5, Q. TÂN BÌNH, 38 420 372 – 38 460 835 
Trang 6 www.thangtienthanglong.edu.vn 
6 
ĐK : 
  
 
  
2
2
2
b 4 c 2
0 b 4 c 2 0
4 2
  
     

2 2 2 2
2 2 2 2
2 2 2
2 2 2
2 2 2 2
2 2 2 2
b 4(2c c 2 ) 0 4 4 c 8 8c b
4 4 (c 2) (c 2) (c 2) 8c b
(2 c 2) b (c 2) 8c
(2 c 2) b (c 2)
b (c 2) 2 c 2 b (c 2)
c 2 b (c 2) c 2 b (c 2)
2 2
              
          
      
     
          
       
   
GTLN của P là 3, GTNN của P là 1 
Do đĩ : 
2 2
2 2
2 2
2 2
2
c 2 b (c 2)
3c 2 b (c 2)
3 2
2
c 2 b (c 2)
1c 2 b (c 2)
1 2
2
c 2
b 2; c 2c 4
b 2; c 2b 2
         
  
 
     
      
 
   
  
   
Cách 2 (khơng chính thức) 
Vì 
2
2
2x bx c
P
x 1
 


 cĩ giá trị nhỏ nhất là 1 và cĩ giá trị lớn nhất là 3 
nên 
2
2
2x bx c
1 3 , b,c
x 1
 
  

2
2
2
2
2
2 2 2
2
2
b b2x bx c
x c 1 0, b,c1 , b,c
2 4x bx c 1 0, b,cx 1
2x bx c x bx c 3 0, b,c b b
3 , b,c x c 3 0, b,c
x 1 2 4
                          
                   
2
2
2
b 2
b
c 22c 4 0c 1 0
c 2
4
b 2b
b c 1 0 b 2
c 3 0 b 24
4 c 2
                                  
CỔNG TY CỔ PHẦN GIÁO DỤC THĂNG TIẾN THĂNG LONG 
16-17 
Trụ sở chính:766/36-766/38 CMT8, P.5, Q. TÂN BÌNH, 38 420 372 – 38 460 835 
Trang 7 www.thangtienthanglong.edu.vn 
7 
N
H
D
O
A C
B
M
Bài 4: (1,5 điểm) 
Cho hình thoi ABCD cĩ 
0
BAD 50 , O là giao điểm của AC và BD, H là hình chiếu của O trên cạnh AB. 
Trên tia đối của tia BC lấy điểm M, trên tia đối của tia DC lấy điểm N sao cho HM song song với AN. 
Chứng minh hai tam giác MBO và ODN đồng dạng. Tính số đo MON . 
Dễ thấy ABD cân tại A cĩ 
0 0
BAD 50 ADB 65   
Dễ thấy 
0
MBH BCD ADN BAD 50    
Do đĩ: 
0 0 0
ODN ADB ADN 65 50 115     
Ta cĩ: MHA HAN (2 gĩc so le trong và MH // AN) 
MHB MBH BAD NAD    
Mà  MBH BAD cmt nên MHB NAD 
Xét MHB và AND , ta cĩ: 
 
 
MHB NAD cmt
MBH ADN cmt
 


   
MB HB
MHB AND g g MB.ND AD.HB 1
AD ND
      ∽ 
Xét HBO và ODA , ta cĩ: 
 
 
0
OHB AOD 90
HBO ODA ...
  

 
   
HB OB
HBO ODA g g OD.OB AD.HB 2
OD AD
      ∽ 
Từ (1) và (2), ta suy ra MB.ND = OD.OB 
MB OB
OD ND
  
Xét MBO và ODN , ta cĩ: 
 
 
MBO NDO de ã chứng minh
MB OB
cmt
OD ND
 




 MBO ODN c g c   ∽ 
0 0 0 0
MOB OND MOB NOD OND NOD MOB NOD 180 NDO 180 115 65            
Mà 
0 0 0 0
MOB NOD MON 180 65 MON 180 MON 115        
Bài 5 : (1,5 điểm) 
Cho ABC , D là điểm cố định trên cạnh BC (khác B, C), một đường thẳng d di động song song với BC 
lần lượt cắt hai cạnh AB và AC tại M và N. Chứng minh 
DMN ABC
1
S S
4
 
 . Dấu bằng xảy ra khi đường 
thẳng d cĩ vị trí đặc biệt nào, vì sao ? 
CỔNG TY CỔ PHẦN GIÁO DỤC THĂNG TIẾN THĂNG LONG 
16-17 
Trụ sở chính:766/36-766/38 CMT8, P.5, Q. TÂN BÌNH, 38 420 372 – 38 460 835 
Trang 8 www.thangtienthanglong.edu.vn 
8 
0
Thời gian
vận tốc
(km /h)
9:12
72
9:00 9:04
Cơ Mai lái xe
9:08
60
48
36
24
12
Kẻ MI // AC  I BC ; DH MN tại H, IK MN tại K. 
Dễ chứng minh: tứ giác DHKI là hình chữ nhật 
DMN IMN
DH IK S S    
Dễ chứng minh: 
2
AMN
ABC
2
BMI
ABC
S AM
S ABAMN ABC
BMI ABC S BM
S AB
  
   
    
 
    
  
 
∽
∽
2 2
AMN BMI
2
ABC
S S AM BM
S AB
 
  
Mà  
2
2 2
1
AM BM AM BM
2
   
Nên 
 
2
AMN BMI ABC MNCI MNCI MNCI
2
ABC ABC ABC ABC
1
AM BM
S S S S S S1 1 12
1
S S 2 S 2 S 2AB
 
        
MNCI ABC
1
S S
2
  mà 
MNCI DMN
S 2.S nên   
DMN ABC DMN ABC
1 1
2.S S S S
2 4
Dấu ‘’=’’ xảy ra khi AM BM  M là trung điểm của AB N là trung điểm của AC 
đường thẳng d đi qua trung điểm của AB và AC. 
Bài 6 : (1 điểm) 
Cơ Mai lái xe đi chơi. Trên đường đi, bất ngờ cĩ một con chĩ chạy ra phía trước đầu xe khiến cơ phải đạp 
mạnh vào chân phanh để tránh. Trong lịng lo ngại, cơ Mai quyết định quay về nhà. 
Đồ thị dưới đây là bảng ghi đơn giản biểu diễn vận tốc của chiếc xe theo thời gian : 
dKH
IB
C
A
M N
D
CỔNG TY CỔ PHẦN GIÁO DỤC THĂNG TIẾN THĂNG LONG 
16-17 
Trụ sở chính:766/36-766/38 CMT8, P.5, Q. TÂN BÌNH, 38 420 372 – 38 460 835 
Trang 9 www.thangtienthanglong.edu.vn 
9 
a) Cơ Mai đạp mạnh vào chân phanh để tránh con chĩ vào lúc mấy giờ ? 
Nhìn vào đồ thị, ta thấy cơ Mai đạp mạnh vào chân phanh để tránh con chĩ vào lúc 9:06 
b) Từ đồ thị, em hãy cho biết đoạn đường về nhà của cơ Mai dài hay ngắn hơn quãng đường cơ đã đi 
từ nhà đến nơi xảy ra sự cố với con chĩ ? Hãy giải thích câu trả lời của em. 
 Tính quãng đường từ nhà đến nơi xảy ra sự cố và quãng đường từ đĩ về nhà. 
Nhìn vào đồ thị, ta thấy thời gian cơ Mai đạp phanh mạnh đến 9:12 là 6 phút ; cịn thời gian cơ Mai đi từ 
9:00 đến lúc cơ Mai đạp phanh mạnh là 6 phút 
Mà ta dễ thấy vận tốc cơ Mai quay về nhà nhỏ hơn vận tốc khi cơ Mai đi nên đoạn đường về nhà của cơ 
Mai ngắn hơn quãng đường cơ đã đi từ nhà đến nơi xảy ra sự cố với con chĩ. 
+ Quãng đường từ nhà đến nơi xảy ra sự cố là : 
   
 
 
  
1 1
12 0 . 60 12 .
460 60
60. 4,7 km
2 2 60
+ Quãng đường từ nhà đến nơi xảy ra sự cố là :
   
 
 
  
2 1
36 12 . 36 0 .
360 60
36. 2,9 km
2 60 2
 Lưu ý: 
 
 0
(v v ). t
s
2
   HẾT  